WikiDer > Konstruktivismus (Mathematik)
Es Konstruktivismus ist ein Strom in der Philosophie der Mathematik die besagt, dass die einzig gültige Beweis der Existenz von a mathematisches Objekt ein Konstruktion dieses Objekts. Insbesondere die Beweismethode des Reduktion ad absurdum ausgeschlossen. Gewöhnlich spricht man von „konstruktiver Mathematik“ statt von „Konstruktivismus“. Begründer der konstruktiven Mathematik L.E.J. Brauer. Sein Intuitionismus war von Erret Bischof so aufgegriffen und angepasst, dass die Ergebnisse von Bishops konstruktiver Mathematik auch in der klassischen Mathematik Gültigkeit haben. (Es Intuitionismus wird heute als eine Bewegung innerhalb der konstruktiven Mathematik angesehen. Eine weitere wichtige Bewegung ist die rekursive Mathematik, auch bekannt als RUSS.)
Seit Bischof 1967, Grundlagen der konstruktiven Analyse veröffentlicht, erfreut sich konstruktive Mathematik wachsender Beliebtheit. Dies liegt zum Teil am Aufkommen von Computern, die das Interesse an der tatsächlichen Berechenbarkeit mathematischer Einheiten erheblich geschärft haben.
Konstruktive Logik
Formal kann konstruktive Mathematik erreicht werden, indem man aus der Logik die Axiom des ausgeschlossene Dritte löschen . Dies liefert die konstruktive oder Intuitionistische Logik. Diese Logik spielt in die Informatik eine sehr wichtige Rolle, zum Beispiel bei Korrektheitsnachweisen von Algorithmen.
Einstellungen von Mathematikern
Die meisten Mathematiker glauben, dass konstruktive Mathematik unnötig rigoros ist. Zwar wird ein konstruktiver Beweis (d. h. ein Beweis durch Konstruktion eines Gegenstandes) höher bewertet als ein nicht-konstruktiver Beweis (mittels reductio ad absurdum) desselben Satzes.
Beispiel aus der realen Analyse
Im Klassiker echte Analyse ist ein Weg zu definiere eine reelle Zahl wie ein Äquivalenzklasse von Cauchy-Reihen von Rationale Zahlen.
In der konstruktiven Mathematik ist eine Möglichkeit, eine reelle Zahl zu konstruieren, a Funktionf was eine positive ganze Zahl ist als Input und hat einen rationalen f(nein) als Ausgabe, zusammen mit einer Funktion G was eine positive ganze Zahl ist nein als Eingabe und hat eine positive ganze Zahl G(nein ) als Ausgabe, so dass
damit wenn nein steigt, die Werte von f(nein) kommen sich immer näher. Wir können f und G zusammen, um die gewünschte rationale Näherung an die reelle Zahl zu erreichen.
Unter dieser Definition ist
eine einfache Darstellung der reellen Zahl e:
Diese Definition ähnelt der klassischen Definition mit Cauchy-Folgen, außer mit einer konstruktiven Wendung: Eine klassische Cauchy-Folge erfordert, dass für jede gegebene Distanz (im klassischen Sinne) ein Element in der Folge existiert Danach sind alle Elemente näher beieinander als der angegebene Abstand. In der konstruktiven Version ist es erforderlich, dass für jeden gegebenen Abstand tatsächlich ein Punkt in der Reihe angegeben werden kann, an dem dies auftritt (diese erforderliche Angabe wird oft als bezeichnet). Konvergenzmodul erwähnt). Tatsächlich ist die konstruktive Standardinterpretation der mathematischen Aussage
genau die Existenz der Funktion, die den Konvergenzmodul berechnet. Somit kann die Unterscheidung zwischen den beiden unterschiedlichen Definitionen der reellen Zahlen als Unterschied in der Interpretation der Aussage "für alle... existiert..." ("für alle... existiert..." )
Dies wirft die Frage auf, was für ein Funktion von a zählbare Sammlung zu einer abzählbaren Menge, wie z f und G oben, tatsächlich konstruiert werden kann. In diesem Punkt geben die verschiedenen Versionen des Konstruktivismus unterschiedliche Antworten. Konstruktionen können so breit sein wie freie wahl sequenzen definiert werden (die intuitiv Sicht) oder so schmal wie Algorithmen (oder technisch gesehen, berechenbare Funktionen) oder gar nicht mehr angegeben werden. Vom algorithmischen Standpunkt aus betrachtet, sind die reellen Zahlen, wie sie hier konstruiert wurden, im Wesentlichen das, was man in der klassischen Mathematik nennen würde. berechenbare Zahlen Anrufe.