WikiDer > Обратное распределение

Inverse distribution

В теория вероятности и статистика, обратное распределение это распределение взаимный случайной величины. Обратные распределения возникают, в частности, в Байесовский контекст предыдущие распределения и апостериорные распределения за параметры шкалы. в алгебра случайных величин, обратные распределения являются частными случаями класса соотношения распределения, в котором случайная величина числителя имеет вырожденное распределение.

Отношение к оригинальному дистрибутиву

В целом, учитывая распределение вероятностей случайной величины Икс при строго положительной поддержке можно найти распределение взаимного, Y = 1 / Икс. Если распределение Икс является непрерывный с функция плотности ж(Икс) и кумулятивная функция распределения F(Икс), то кумулятивная функция распределения, грамм(у), обратного находится, отметив, что

Тогда функция плотности Y находится как производная кумулятивной функции распределения:

Примеры

Взаимное распределение

В взаимное распределение имеет функцию плотности вида.[1]

куда средства "пропорционально"Отсюда следует, что обратное распределение в этом случае имеет вид

что снова является взаимным распределением.

Обратное равномерное распределение

Обратное равномерное распределение
Параметры
Поддерживать
PDF
CDF
Иметь в виду
Медиана
Дисперсия

Если исходная случайная величина Икс является равномерно распределены на интервале (а,б), куда а> 0, то обратная переменная Y = 1 / Икс имеет обратное распределение, которое принимает значения в диапазоне (б−1 ,а−1), а функция плотности вероятности в этом диапазоне равна

и равен нулю в других местах.

Кумулятивная функция распределения обратной величины в том же диапазоне равна

Например, если Икс равномерно распределена на отрезке (0,1), то Y = 1 / Икс имеет плотность и кумулятивная функция распределения когда

Обратный т распределение

Позволять Икс быть т распределен случайное изменение с k степени свободы. Тогда его функция плотности равна

Плотность Y = 1 / Икс является

С k = 1, распределения Икс и 1 /Икс идентичны (Икс затем Коши распределил (0,1)). Если k > 1, то распределение 1 /Икс является бимодальный.[нужна цитата]

Взаимное нормальное распределение

График обратного нормального распределения

Если Икс это стандартный нормально распределенный переменной, то распределение обратной или обратной 1 /Икс (взаимное стандартное нормальное распределение) является бимодальный,[2]а моменты первого и более высокого порядка не существуют.[2]Для таких обратных распределений и для соотношения распределения, все еще могут быть определены вероятности для интервалов, которые могут быть вычислены либо Моделирование Монте-Карло или, в некоторых случаях, с помощью преобразования Гири – Хинкли.[3]

Однако в более общем случае сдвинутой обратной функции , за следуя общему нормальному распределению, статистика среднего и дисперсии действительно существует в основная стоимость смысл, если разница между полюсом и среднее имеет реальную ценность. Среднее значение этой преобразованной случайной величины (взаимно смещенное нормальное распределение) тогда действительно является масштабированным Функция Доусона:[4]

.

Напротив, если сдвиг является чисто сложным, среднее существует и является масштабированным Функция Фаддеева, точное выражение которого зависит от знака мнимой части, В обоих случаях дисперсия является простой функцией среднего.[5] Следовательно, дисперсию следует рассматривать в смысле главного значения, если реально, а существует, если мнимая часть не равно нулю. Обратите внимание, что эти средние и дисперсии точны, так как они не возвращаются к линеаризации отношения. Точная ковариация двух соотношений с парой разных полюсов и аналогично доступен.[6]Случай инверсии комплексная нормальная переменная , сдвинутые или нет, имеют разные характеристики.[4]

Обратное экспоненциальное распределение

Если является экспоненциально распределенной случайной величиной с параметром скорости , тогда имеет следующую кумулятивную функцию распределения: за . Обратите внимание, что ожидаемого значения этой случайной величины не существует. Обратное экспоненциальное распределение находит применение при анализе систем беспроводной связи с замираниями.

Обратное распределение Коши

Если Икс это Коши распределил (μ, σ) случайная величина, то 1 / X является ( μ / C, σ / C ) случайная величина, где C = μ2 + σ2.

Обратное F-распределение

Если Икс является F(ν1, ν2 ) распределены случайная величина, то 1 / Икс является F(ν2, ν1 ) случайная переменная.

Обратный биномиального распределения

Никакой закрытой формы для этого распределения не известно. Известно асимптотическое приближение для среднего.[7]

где E [] - оператор математического ожидания, X - случайная величина, O () и o () - большие и маленькие o функции заказа, n - размер выборки, p - вероятность успеха, а a - переменная, которая может быть положительной или отрицательной, целой или дробной.

Взаимное треугольное распределение

Для треугольное распределение с нижним пределом а, верхний предел б и режим c, куда а < б и а ≤ c ≤ б, среднее значение обратной величины равно

и дисперсия на

.

Оба момента обратной величины определяются только тогда, когда треугольник не пересекает ноль, т.е. когда а, б, и c либо все положительные, либо все отрицательные.

Другие обратные распределения

Другие обратные распределения включают

обратное распределение хи-квадрат
обратное гамма-распределение
обратное распределение Вишарта
гамма-распределение обратной матрицы

Приложения

Обратные распределения широко используются в качестве априорных распределений в байесовском выводе для параметров масштаба.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Хэмминг Р. В. (1970) «О раздаче номеров», Технический журнал Bell System 49(8) 1609–1625
  2. ^ а б Джонсон, Норман Л .; Коц, Самуэль; Балакришнан, Нараянасвами (1994). Непрерывные одномерные распределения, Том 1. Вайли. п. 171. ISBN 0-471-58495-9.
  3. ^ Хайя, Джек; Армстронг, Дональд; Грессис, Николас (июль 1975 г.). «Примечание о соотношении двух нормально распределенных переменных». Наука управления. 21 (11): 1338–1341. Дои:10.1287 / mnsc.21.11.1338. JSTOR 2629897.
  4. ^ а б Леконт, Кристоф (май 2013 г.). «Точная статистика систем с неопределенностями: аналитическая теория стохастических динамических систем первого ранга». Журнал звука и вибраций. 332 (11): 2750–2776. Дои:10.1016 / j.jsv.2012.12.009.
  5. ^ Леконт, Кристоф (май 2013 г.). «Точная статистика систем с неопределенностями: аналитическая теория стохастических динамических систем первого ранга». Журнал звука и вибраций. 332 (11). Раздел (4.1.1). Дои:10.1016 / j.jsv.2012.12.009.
  6. ^ Леконт, Кристоф (май 2013 г.). «Точная статистика систем с неопределенностями: аналитическая теория стохастических динамических систем первого ранга». Журнал звука и вибраций. 332 (11). Уравнение (39) - (40). Дои:10.1016 / j.jsv.2012.12.009.
  7. ^ Cribari-Neto F, Lopes Garcia N, Vasconcellos KLP (2000) Заметка об обратных моментах биномиальных переменных. Бразильский обзор эконометрики 20 (2)