WikiDer > Обратное гамма-распределение

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Обратное гамма-распределение» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Октябрь 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Обратная гамма

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${ displaystyle alpha> 0}$ форма (настоящий) ${ displaystyle beta> 0}$ масштаб (настоящий)
Поддержка	${ Displaystyle х в (0, infty) !}$
PDF	${ displaystyle { frac { beta ^ { alpha}} { Gamma ( alpha)}} x ^ {- alpha -1} exp left (- { frac { beta} {x}} правильно)}$
CDF	${ Displaystyle { frac { Gamma ( alpha, beta / x)} { Gamma ( alpha)}} !}$
Значить	${ displaystyle { frac { beta} { alpha -1}} !}$ для ${ displaystyle alpha> 1}$
Режим	${ displaystyle { frac { beta} { alpha +1}} !}$
Дисперсия	${ displaystyle { frac { beta ^ {2}} {( alpha -1) ^ {2} ( alpha -2)}} !}$ для ${ displaystyle alpha> 2}$
Асимметрия	${ displaystyle { frac {4 { sqrt { alpha -2}}} { alpha -3}} !}$ для ${ displaystyle alpha> 3}$
Ex. эксцесс	${ Displaystyle { гидроразрыва {6 (5 , альфа-11)} {( альфа -3) ( альфа -4)}} !}$ для ${ displaystyle alpha> 4}$
Энтропия	${ Displaystyle альфа ! + ! пер ( бета гамма ( альфа)) ! - ! (1 ! + ! альфа) psi ( альфа)}$ (увидеть функция дигаммы)
MGF	Не существует.
CF	${ displaystyle { frac {2 left (-i beta t right) ^ {! ! { frac { alpha} {2}}}} { Gamma ( alpha)}} K _ { альфа} left ({ sqrt {-4i beta t}} right)}$

В теория вероятности и статистика, то обратное гамма-распределение является двухпараметрическим семейством непрерывных распределения вероятностей на позитиве реальная линия, которое является распределением взаимный переменной, распределенной согласно гамма-распределение. Возможно, основное использование обратного гамма-распределения заключается в Байесовская статистика, где распределение возникает как маргинальное апостериорное распределение для неизвестного отклонение из нормальное распределение, если малоинформативный приор используется, и как аналитически поддающийся обработке сопряженный предшествующий, если требуется информативная предварительная информация.

Однако среди байесовцев принято рассматривать альтернативу. параметризация из нормальное распределение с точки зрения точность, определяемый как величина, обратная дисперсии, что позволяет использовать гамма-распределение непосредственно в качестве сопряженного априорного значения. Другие байесовцы предпочитают иначе параметризовать обратное гамма-распределение, так как масштабированное обратное распределение хи-квадрат.

Характеристика

Функция плотности вероятности

Обратное гамма-распределение функция плотности вероятности определяется над поддержка ${ displaystyle x> 0}$

${ Displaystyle е (х; альфа, бета) = { гидроразрыва { бета ^ { альфа}} { гамма ( альфа)}} (1 / х) ^ { альфа +1} ехр слева (- beta / x right)}$

с участием параметр формы ${ displaystyle alpha}$ и масштабный параметр ${ displaystyle beta}$.^[1] Вот ${ Displaystyle Gamma ( cdot)}$ обозначает гамма-функция.

в отличие от Гамма-распределение, который содержит несколько похожий экспоненциальный член, ${ displaystyle beta}$ - масштабный параметр, так как функция распределения удовлетворяет:

${ Displaystyle е (х; альфа, бета) = { гидроразрыва {е (х / бета; альфа, 1)} { бета}}}$

Кумулятивная функция распределения

В кумулятивная функция распределения это регуляризованная гамма-функция

${ Displaystyle F (х; альфа, бета) = { гидроразрыва { Gamma left ( alpha, { frac { beta} {x}} right)} { Gamma ( alpha)}} = Q left ( alpha, { frac { beta} {x}} right) !}$

где числитель - верхний неполная гамма-функция а знаменатель - это гамма-функция. Многие математические пакеты позволяют напрямую вычислять ${ displaystyle Q}$, регуляризованная гамма-функция.

Моменты

В п-й момент обратного гамма-распределения определяется выражением^[2]

${ displaystyle mathrm {E} [X ^ {n}] = { frac { beta ^ {n}} {( alpha -1) cdots ( alpha -n)}}.}$

Характеристическая функция

${ Displaystyle К _ { альфа} ( cdot)}$ в выражении характеристическая функция это модифицированный Функция Бесселя 2-го рода.

Свойства

Для ${ displaystyle alpha> 0}$ и ${ displaystyle beta> 0}$,

${ Displaystyle mathbb {E} [ ln (X)] = ln ( бета) - psi ( альфа) ,}$

и

${ displaystyle mathbb {E} [X ^ {- 1}] = { frac { alpha} { beta}}, ,}$

В информационная энтропия является

${ displaystyle { begin {align} operatorname {H} (X) & = operatorname {E} [- ln (p (X))] & = operatorname {E} left [- alpha ln ( beta) + ln ( Gamma ( alpha)) + ( alpha +1) ln (X) + { frac { beta} {X}} right] & = - альфа ln ( beta) + ln ( Gamma ( alpha)) + ( alpha +1) ln ( beta) - ( alpha +1) psi ( alpha) + alpha & = alpha + ln ( beta Gamma ( alpha)) - ( alpha +1) psi ( alpha). end {выравнивается}}}$

где ${ Displaystyle psi ( альфа)}$ это функция дигаммы.

В Расхождение Кульбака-Лейблера обратной гаммы (α_п, β_п) из обратной гаммы (α_q, β_q) совпадает с KL-расходимостью Gamma (α_п, β_п) из гаммы (α_q, β_q):

${ displaystyle D _ { mathrm {KL}} ( alpha _ {p}, beta _ {p}; alpha _ {q}, beta _ {q}) = mathbb {E} left [ log { frac { rho (X)} { pi (X)}} right] = mathbb {E} left [ log { frac { rho (1 / Y)} { pi (1 / Y)}} right] = mathbb {E} left [ log { frac { rho _ {G} (Y)} { pi _ {G} (Y)}} right],}$

где ${ displaystyle rho, pi}$ являются pdf-распределениями обратного гамма-распределения и ${ displaystyle rho _ {G}, pi _ {G}}$ - pdf-файлы гамма-распределений, ${ displaystyle Y}$ это Гамма (α_п, β_п) распределены.

${ displaystyle { begin {align} D _ { mathrm {KL}} ( alpha _ {p}, beta _ {p}; alpha _ {q}, beta _ {q}) = {} & ( alpha _ {p} - alpha _ {q}) psi ( alpha _ {p}) - log Gamma ( alpha _ {p}) + log Gamma ( alpha _ {q} ) + alpha _ {q} ( log beta _ {p} - log beta _ {q}) + alpha _ {p} { frac { beta _ {q} - beta _ {p }} { beta _ {p}}}. end {выравнивается}}}$

Связанные дистрибутивы

• Если ${ Displaystyle X sim { mbox {Inv-Gamma}} ( alpha, beta)}$ тогда ${ Displaystyle кХ сим { mbox {Inv-Gamma}} ( альфа, к бета) ,}$
• Если ${ Displaystyle X sim { mbox {Inv-Gamma}} ( alpha, { tfrac {1} {2}})}$ тогда ${ displaystyle X sim { mbox {Inv -}} chi ^ {2} (2 alpha) ,}$ (обратное распределение хи-квадрат)
• Если ${ displaystyle X sim { mbox {Inv-Gamma}} ({ tfrac { alpha} {2}}, { tfrac {1} {2}})}$ тогда ${ displaystyle X sim { mbox {Scaled Inv -}} chi ^ {2} ( alpha, { tfrac {1} { alpha}}) ,}$ (масштабированное обратное распределение хи-квадрат)
• Если ${ displaystyle X sim { textrm {Inv-Gamma}} ({ tfrac {1} {2}}, { tfrac {c} {2}})}$ тогда ${ Displaystyle X sim { textrm {Леви}} (0, c) ,}$ (Распределение Леви)
• Если ${ displaystyle X sim { textrm {Inv-Gamma}} (1, c)}$ тогда ${ Displaystyle { tfrac {1} {X}} sim { textrm {Exp}} (с) ,}$ (Экспоненциальное распределение)
• Если ${ Displaystyle X sim { mbox {Gamma}} ( alpha, beta) ,}$ (Гамма-распределение с участием показатель параметр ${ displaystyle beta}$) тогда ${ Displaystyle { tfrac {1} {X}} sim { mbox {Inv-Gamma}} ( alpha, beta) ,}$ (подробности см. в выводе в следующем абзаце)
• Обратите внимание, что если Икс ~ Гамма (k, θ) (Гамма-распределение с масштабным параметром θ ), то 1 /Икс ~ Инв-Гамма (k, θ⁻¹)
• Обратное гамма-распределение - частный случай типа 5. Распределение Пирсона
• А многомерный обобщением обратного гамма-распределения является обратное распределение Вишарта.
• О распределении суммы независимых инвертированных гамма-переменных см. Витковский (2001).

Вывод из гамма-распределения

Позволять ${ Displaystyle X sim { mbox {Gamma}} ( alpha, beta)}$, и напомним, что PDF-файл гамма-распределение является

${ displaystyle f_ {X} (x) = { frac { beta ^ { alpha}} { Gamma ( alpha)}} x ^ { alpha -1} e ^ {- beta x}}$, ${ displaystyle x> 0}$.

Обратите внимание, что ${ displaystyle beta}$ - параметр скорости с точки зрения гамма-распределения.

Определите преобразование ${ Displaystyle Y = г (X) = { tfrac {1} {X}}}$. Затем PDF-файл ${ displaystyle Y}$ является

${ displaystyle { begin {align} f_ {Y} (y) & = f_ {X} left (g ^ {- 1} (y) right) left | { frac {d} {dy}} g ^ {- 1} (y) right | [6pt] & = { frac { beta ^ { alpha}} { Gamma ( alpha)}} left ({ frac {1} { y}} right) ^ { alpha -1} exp left ({ frac {- beta} {y}} right) { frac {1} {y ^ {2}}} [ 6pt] & = { frac { beta ^ { alpha}} { Gamma ( alpha)}} left ({ frac {1} {y}} right) ^ { alpha +1} exp left ({ frac {- beta} {y}} right) [6pt] & = { frac { beta ^ { alpha}} { Gamma ( alpha)}} left (y right) ^ {- alpha -1} exp left ({ frac {- beta} {y}} right) [6pt] end {align}}}$

Обратите внимание, что ${ displaystyle beta}$ - масштабный параметр с точки зрения обратного гамма-распределения.

Вхождение

Этот раздел пуст. Вы можете помочь добавляя к этому. (Январь 2015)

Смотрите также

• Гамма-распределение
• Обратное распределение хи-квадрат
• Нормальное распределение

использованная литература

• Хофф, П. (2009). «Первый курс байесовских статистических методов». Springer.
• Витковский, В. (2001). «Вычисление распределения линейной комбинации инвертированных гамма-переменных». Кибернетика. 37 (1): 79–90. Г-Н 1825758. Zbl 1263.62022.