WikiDer > Инволют

Involute
Две эвольвенты (красные) параболы

В математика, эвольвента (также известный как развиваться) - это особый тип изгиб это зависит от другой формы или кривой. Эвольвента кривой - это локус точки на отрезке натянутой струны, когда струна либо разворачивается, либо наматывается вокруг кривой.[1]

Это класс кривых, подпадающих под рулетка семейство кривых.

В эволюционировать эвольвенты - это исходная кривая.

Понятия эвольвенты и эволюции кривой были введены Кристиан Гюйгенс в его работе под названием Часы осцилляторий sive de motu pendulorum ad horologia aptato демонстрации геометрические (1673).[2]

Эвольта параметризованной кривой

Позволять быть регулярная кривая в самолете со своим кривизна нигде 0 и , то кривая с параметрическим представлением

является эвольвента данной кривой.

Доказательство
Строка действует как касательная к кривой . Его длина изменяется на величину, равную длина дуги пройденный, когда он наматывается или раскручивается. Длина дуги кривой, пройденной за интервал дан кем-то

куда это начальная точка, от которой измеряется длина дуги. Поскольку касательный вектор здесь изображает натянутую струну, мы получаем вектор струны как

Вектор, соответствующий конечной точке строки () легко вычисляется с помощью векторное сложение, и получается

Добавление произвольного, но фиксированного числа к интегралу приводит к эвольвенте, соответствующей струне, расширенной на (как клубок шерсти пряжа имеющая некоторую длину нити, уже свисающую до того, как она размотана). Следовательно, эвольвенту можно изменять постоянным и / или добавление числа к интегралу (см. Эвволы полукубической параболы).

Если один получает

Свойства эвольвент

Инволют: свойства. Изображенные углы составляют 90 градусов.

Чтобы получить свойства регулярной кривой, полезно предположить, что длина дуги быть параметром данной кривой, что приводит к следующим упрощениям: и , с в кривизна и агрегат нормальный. Для эвольвенты получается:

и

и заявление:

  • В момент эвольвента не обычный (потому что ),

и из следует:

  • Нормаль эвольвенты в точке - касательная к данной кривой в точке .
  • Эвольвенты параллельные кривые, потому что и тот факт, что нормальная единица при .

Примеры

Эвволы круга

Эвволы круга

Для круга с параметрическим представлением , надо.Следовательно , а длина пути равна .

Оценивая приведенное выше уравнение эвольвенты, получаем

для параметрическое уравнение эвольвенты круга.

В термин не является обязательным; он служит для установки начального положения кривой на окружности. На рисунке показаны эвольвенты для (зеленый), (красный), (фиолетовый) и (светло-синий). Эвольвенты выглядят как Архимедовы спирали, но на самом деле это не так.

Длина дуги для и эвольвенты

Эвволы полукубической параболы (синие). Только красная кривая - парабола.

Эвволы полукубической параболы

В параметрическое уравнение описывает полукубическая парабола. Из один получает и . Расширение строки на значительно упрощает дальнейшие вычисления, и получается

Устранение т дает показывая, что эта эвольвента парабола.

Остальные эвольвенты, таким образом, параллельные кривые параболы, и не являются параболами, поскольку они являются кривыми шестой степени (см. Параллельная кривая § Другие примеры).

Красная эвольвента контактной цепи (синяя) - трактрикс.

Эвволы контактной сети

Для цепная связь , касательный вектор равен , и, как его длина . Таким образом, длина дуги от точки (0, 1) является

Следовательно, эвольвента, начиная с (0, 1) параметризуется

и, таким образом, трактрикс.

Остальные эвольвенты не являются трактрисами, поскольку представляют собой параллельные кривые трактрисы.

Эвволы циклоиды

Эвволы циклоиды (синие): только красная кривая - другая циклоида.

Параметрическое представление описывает циклоида. Из , получается (после использования некоторых тригонометрических формул)

и

Следовательно, уравнения соответствующей эвольвенты имеют вид

которые описывают смещенную красную циклоиду диаграммы. Следовательно

  • Эвольвенты циклоиды параллельные кривые циклоиды

(Параллельные кривые циклоиды не циклоиды.)

Эволюция и эволюция

В эволюционировать данной кривой состоит из центров кривизны . Между эвольвентами и эволютами справедливо следующее утверждение:[3][4]

Кривая - это эволюция любой из ее эвольвент.

Заявление

Эвольвента имеет некоторые свойства, которые делают ее чрезвычайно важной для механизм промышленность: если две зацепленные шестерни имеют зубья с формой профиля эвольвенты (а не, например, традиционной треугольной формы), они образуют эвольвентная передача система. Их относительные скорости вращения постоянны, пока зубья находятся в зацеплении. Шестерни также всегда контактируют по единой устойчивой силовой линии. В случае зубьев другой формы относительные скорости и силы повышаются и уменьшаются по мере зацепления последовательных зубцов, что приводит к вибрации, шуму и чрезмерному износу. По этой причине почти все современные зубья шестерен имеют эвольвентную форму.[5]

Механизм спирального компрессора

Эвольвента круга также является важной формой в сжатие газа, как спиральный компрессор можно построить на основе этой формы. Спиральные компрессоры издают меньше шума, чем обычные компрессоры, и доказали свою эффективность. эффективный.

В Изотопный реактор с высоким потоком использует тепловыделяющие элементы эвольвентной формы, поскольку они позволяют создать между ними канал постоянной ширины для теплоносителя.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Раттер, Дж. (2000). Геометрия кривых. CRC Press. стр.204. ISBN 9781584881667.
  2. ^ Макклири, Джон (2013). Геометрия с отличительной точки зрения. Издательство Кембриджского университета. стр.89. ISBN 9780521116077.
  3. ^ К. Бург, Х. Хаф, Ф. Вилле, А. Майстер: Векторный анализ: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler и ..., Springer-Verlag, 2012,ISBN 3834883468, С. 30.
  4. ^ Р. Курант:Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band, Springer-Verlag, 1955, с. 267.
  5. ^ Госс В.Г.А. (2013) «Применение аналитической геометрии к форме зубьев шестерни», Резонанс 18 (9): с 817 до 31 Springerlink (требуется подписка).

внешняя ссылка