WikiDer > Константа Хинчина - Википедия

Khinchins constant - Wikipedia

В теория чисел, Александр Яковлевич Хинчин доказал, что для почти все действительные числа Икс, коэффициенты а_я из непрерывная дробь расширение Икс иметь конечный среднее геометрическое это не зависит от стоимости Икс и известен как Постоянная Хинчина.

То есть для

{ displaystyle x = a_ {0} + { cfrac {1} {a_ {1} + { cfrac {1} {a_ {2} + { cfrac {1} {a_ {3} + { cfrac {) 1} { ddots}}}}}}}} ;}

это почти всегда правда что

{ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} left (a_ {1} a_ {2} ... a_ {n} right) ^ {1 / n} = K_ {0}}

куда ${ displaystyle K_ {0}}$ постоянная Хинчина

{ displaystyle K_ {0} = prod _ {r = 1} ^ { infty} { left (1+ {1 over r (r + 2)} right)} ^ { log _ {2} r} приблизительно 2,6854520010 точек}

(последовательность A002210 в OEIS)

(с ${ displaystyle prod}$ обозначающий продукт по всем условиям последовательности).

Хотя почти все числа удовлетворяют этому свойству, оно не было доказано для любой настоящий номер нет специально сконструированы для этой цели. Икс чьи разложения в цепную дробь известны нет иметь это свойство рациональное число, корни квадратные уравнения (в том числе Золотое сечение Φ и квадратные корни целых чисел), а основание натурального логарифма е.

В более ранней математической литературе Хинчин иногда пишется как Хинчин (французская транслитерация русского Хинчин).

Эскиз доказательства

Представленное здесь доказательство было организовано Чеслав Рылль-Нардзевский^[1] и намного проще, чем оригинальное доказательство Хинчина, в котором не использовалось эргодическая теория.

Поскольку первый коэффициент а₀ непрерывной дроби Икс не играет роли в теореме Хинчина, и поскольку рациональное число имеют Мера Лебега нуля, мы сводимся к изучению иррациональных чисел в единичный интервал, т.е. находящиеся в ${ Displaystyle I = [0,1] setminus mathbb {Q}}$ . Эти числа находятся в биекция с бесконечным непрерывные дроби вида [0;а₁, а₂, ...], которую мы просто пишем [а₁, а₂, ...], куда а₁, а₂, ... находятся положительные целые числа. Определить преобразование Т:я → я к

{ displaystyle T ([a_ {1}, a_ {2}, dots]) = [a_ {2}, a_ {3}, dots]. ,}

Преобразование Т называется Оператор Гаусса – Кузмина – Вирсинга. Для каждого Борелевское подмножество E из я, мы также определяем Мера Гаусса – Кузьмина из E

{ displaystyle mu (E) = { frac {1} { log 2}} int _ {E} { frac {dx} {1 + x}}.}

потом μ это вероятностная мера на σ-алгебра борелевских подмножеств я. Мера μ является эквивалент к мере Лебега на я, но у него есть дополнительное свойство: преобразование Т сохраняет мера μ. Более того, можно доказать, что Т является эргодическое преобразование из измеримое пространство я наделен вероятностной мерой μ (это самая сложная часть доказательства). В эргодическая теорема затем говорит, что для любого μ-интегрируемая функция ж на я, среднее значение ${ Displaystyle е влево (Т ^ {к} х вправо)}$ одинаково почти для всех ${ displaystyle x}$ :

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {1} {n}} sum _ {k = 0} ^ {n-1} (f circ T ^ {k}) (x) = int _ {I} fd mu quad { text {for}} mu { text {- почти все}} x in I.}

Применяя это к функции, определенной ж([а₁, а₂, ...]) = журнал (а₁), получаем, что

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} log (a_ {k}) = int _ {I} f , d mu = sum _ {r = 1} ^ { infty} log (r) { frac { log { bigl (} 1 + { frac {1} {r (r + 2 )}} { bigr)}} { log 2}}}

почти для всех [а₁, а₂, ...] в я в качестве п → ∞.

Принимая экспоненциальный с обеих сторон получим слева среднее геометрическое из первых п коэффициенты при непрерывной дроби и правую постоянную Хинчина.

Выражения ряда

Постоянная Хинчина может быть выражена как рациональная дзета-серия в виде^[2]

{ displaystyle log K_ {0} = { frac {1} { log 2}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { zeta (2n) -1} {n} } sum _ {k = 1} ^ {2n-1} { frac {(-1) ^ {k + 1}} {k}}}

или, удаляя термины в серии,

{ displaystyle log K_ {0} = { frac {1} { log 2}} left [- sum _ {k = 2} ^ {N} log left ({ frac {k-1 } {k}} right) log left ({ frac {k + 1} {k}} right) + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { zeta (2n , N + 1)} {n}} sum _ {k = 1} ^ {2n-1} { frac {(-1) ^ {k + 1}} {k}} right]}

куда N является целым числом, фиксированным, а ζ (s, п) - комплекс Дзета-функция Гурвица. Оба ряда сильно сходятся, так как ζ (п) - 1 быстро приближается к нулю для больших п. Расширение также может быть дано в терминах дилогарифм:

{ displaystyle log K_ {0} = log 2 + { frac {1} { log 2}} left [{ mbox {Li}} _ {2} left ({ frac {-1} {2}} right) + { frac {1} {2}} sum _ {k = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { mbox {Li}} _ {2} left ({ frac {4} {k ^ {2}}} right) right].}

Гёльдер означает

Константу Хинчина можно рассматривать как первую в серии Гёльдер означает членов непрерывных дробей. Для произвольной серии {а_п}, среднее Гельдера порядка п серии задается

{ displaystyle K_ {p} = lim _ {n to infty} left [{ frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {p } right] ^ {1 / p}.}

Когда {а_п} - члены разложения в непрерывную дробь, константы задаются выражением

{ displaystyle K_ {p} = left [ sum _ {k = 1} ^ { infty} -k ^ {p} log _ {2} left (1 - { frac {1} {(k +1) ^ {2}}} right) right] ^ {1 / p}.}

Это получается, если взять п-е среднее в сочетании с Распределение Гаусса – Кузьмина. Значение для K₀ может оказаться полученным в пределах п → 0.

Гармоническое среднее

Посредством приведенных выше выражений гармоническое среднее членов непрерывной дроби. Полученное значение

{ displaystyle K _ {- 1} = 1,74540566240 точек}

(последовательность A087491 в OEIS).

Открытые проблемы

Лимит

{ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} ( pi _ {1} pi _ {2} ... pi _ {n}) ^ {1 / n}}

похоже, стремится к постоянной Хинчина.

$π$ , то Константа Эйлера – Маскерони γ, и сама константа Хинчина, основанная на численных доказательствах,^[3]^[4] считаются числами, среднее геометрическое значение коэффициентов которых а_я в их непрерывной дроби разложение стремится к постоянной Хинчина. Однако ни один из этих ограничений не был строго установлен.
Неизвестно, является ли постоянная Хинчина рациональной, алгебраический иррациональный или же трансцендентный номер.^[5]

Смотрите также

Список математических констант

внешняя ссылка

[1] Рыль-Нардзевский, Чеслав (1951), "Об эргодических теоремах II (эргодическая теория цепных дробей)", Studia Mathematica, 12: 74–79

[2] Bailey, Borwein & Crandall, 1997. В этой статье для дзета-функции Гурвица используется несколько нестандартное определение.

[3] Вайсштейн, Эрик В. "Постоянная непрерывная дробь Эйлера-Маскерони". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-03-23.

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Непрерывная дробь Пи». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-03-23.

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Постоянная Хинчина». MathWorld.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Navigation