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In der Knotentheorie ist ein Unterfeld des Topologie, ist ein Knotenpolynom ein Knoteninvariante geformt wie a Polynom, von denen die Koeffizienten Codieren einiger Eigenschaften einer Metrik Taste.

Beispiele für Knotenpolynome sind die Alexanderpolynomnom und der Jones-Polynom.

Geschichte

Das erste Knotenpolynom, das Alexander-Polynom, wurde 1923 eingeführt von James Alexander. Es dauerte fast 60 Jahre, bis andere Knotenpolynome gefunden wurden.

In den 60er Jahren kam John Conway jetzt sofort Strangbeziehung für eine Version des Alexander-Polynoms, allgemein als Alexander-Conway-Polynom bezeichnet. Die Bedeutung dieser Strangbeziehung wurde erst Anfang der 1980er Jahre verstanden, als Vaughan Jones das Jones-Polynom entdeckt. Dies führte zur Entdeckung weiterer Knotenpolynome, wie dem sogenannten HOMFLY-Polynom.

Kurz nach Jones' Entdeckung fiel es Louis Kauffman Beachten Sie, dass das Jones-Polynom mit einem sogenannten Zustandssummenmodell, bei dem die Klammerpolynom beteiligt, eine Invariante des wilder Knoten. Dies eröffnete eine Reihe von Möglichkeiten für die Forschung, die die Knotentheorie mit Statistische Mechanik.

In den späten 1980er Jahren gab es zwei Durchbrüche, die miteinander verwandt waren. Edward Witten zeigte, dass das Jones-Polynom und ähnliche Invarianten des Jones-Typs in der interpretiert werden können Chern-Simons-Theorie. Viktor Wassiljew und Michail Goussarov begann die Theorie von endliche Typinvarianten von Knöpfen. Die Koeffizienten der oben genannten Polynome sind bekanntermaßen vom endlichen Typ (nach möglicherweise einer entsprechenden "Variablenänderung").

In den letzten Jahren wurde festgestellt, dass das Alexanderpolynom mit is Florhomologie. Das Euler-Eigenschaft der Heegaard-Floer-Homologie von Ozsváth und Szabó ist das Alexanderpolynom.

Literatur

• (und) WBR Lickorish, Eine Einführung in die Knotentheorie, An Introduction to Knot Theory, Graduate Texts in Mathematics, 175. Springer-Verlag, New York, 1997. ISBN 0-387-98254-X