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Der rote Radius des Kreises gibt den Krümmungsradius der Kurve C im Punkt P . an

Das Krümmungsradius in einem Punkt von a flache Kurve ist ein Maß für die Krümmung an diesem Punkt. Je größer der Krümmungsradius, desto weniger gekrümmt ist die Kurve. Der Krümmungsradius an einem Punkt ist der Strahl des Schmusekreis an diesem Punkt auf der Kurve.

Parametrisch beschriebene Kurve

Für jede Single parametrisiert Kurve ${Anzeigestil C={(x,y)mittel x=x(t),,y=y(t)}}$ der Krümmungsradius wird von Punkt zu Punkt unterschiedlich sein. Der Krümmungsgrad einer Kurve lässt sich durch den Radius des Kreises beschreiben, der am betrachteten Punkt am besten zur Kurve passt.

Es Center dieses Kreises heißt Krümmungsmittelpunkt. Das ist es Überschneidung des Senkrechte auf der Tangenten im ${Anzeigestil (x(t),y(t))}$ und ${displaystyle (x(t mathrm {d} t),y(t mathrm {d} t))}$. Daraus folgt für den Krümmungsradius ${Anzeigestil ho}$:

${displaystyle ho (t)=left(1 heta ^{2}(t)ight)^{frac {3}{2}}links|{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}{ ig /}{frac {mathrm {d} heta }{mathrm {d} t}}ight|}$,

in welchem

${displaystyle heta(t)={frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}={frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} t}}{ ig /}{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}}$

das Tangente des Neigungswinkel (Steigung) ist von der Tangente.

Die Formel für den Krümmungsradius kann auch geschrieben werden als:

${displaystyle ho (t)={frac {left({x'}^{2} {y'}^{2}ight)^{frac {3}{2}}}{left|y''x'- y'x''ight|}}}$

in denen die Akzente de Derivate vorstellen.

Explizit beschriebene Kurve

Wenn die Kurve beschrieben wird durch ${Anzeigestil y=f(x)}$, ist

${displaystyle ho =links|{frac {(1 y'^{2})^{frac {3}{2}}}{y''}}ight|}$

Beispiel

Für die Einheitskreis gilt:

${displaystyle heta (t)={frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}=-cot(t)}$

so dass der Krümmungsradius gleich ist:

${displaystyle ho (t)=(1 bett(t)^{2})^{frac {3}{2}}links|{frac {-sin(t)}{1 bett(t)^{2}} }acht|=1}$