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In dem Arithmetik und der Algebra ist ein Würfelzahl ein natürliche Zahl dass der dritte Leistung ist eine natürliche Zahl. Die natürliche Zahl ${displaystyle k}$ ist also eine Würfelzahl, wenn es eine natürliche Zahl gibt ${displaystyle n}$ ist so, dass:

${Anzeigestil k=n^{3}}$

Die ersten zehn Würfelzahlen sind:

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, …^[1]

Eine Würfelzahl ist a figurative Zahl, dessen Name von der geometrischen Form des . abgeleitet ist Würfel. Mehrere Kugeln von der Größe einer Würfelzahl können zu einem Würfel gestapelt werden. Zum Beispiel ein Würfel mit Rippe Baue 3 (Kugeln) mit 27 Kugeln.

Eine weitere Würfelzahl erhält man durch Addition zum Würfel mit ${displaystyle n^{3}}$ Kugeln 3 Gesichter mit ${displaystyle n^{2}}$ Kugeln, 3 Rippen mit ${displaystyle n}$ Bälle und eine weitere Ecke von 1 Ball zu platzieren. Daraus folgt die rekursive Beziehung zwischen den aufeinanderfolgenden Würfelzahlen;

${Anzeigestil (n 1)^{3}=n^{3} 3n^{2} 3n 1}$

Eigenschaften

Aus den aufeinanderfolgenden Blöcken von eins, zwei, drei, vier, fünf, ... seltsamnatürliche Zahlen in aufsteigender Reihe kann man weitermachen Summe Würfelzahlen erstellen:

${displaystyle Unterband {1} _{1} Unterband {3 5} _{8} Unterband {7 9 11} _{27} Unterband {13 15 17 19} _{64} Unterband {21 23 25 27 29} _{ 125} lPunkte }$

Dies zeigt, dass jede Würfelzahl nein³ die summe ist von nein aufeinanderfolgende ungerade Zahlen.

Ausgehend von der Reihe der zentrierte Sechskantzahlen: 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, ... erhält man die ${displaystyle n}$-die Würfelzahl als Summe der ersten ${displaystyle n}$Elemente des Warteschlange:

${displaystyle { egin{aligned}1&=1/8&=1 7/27&=1 7 19/64&=1 7 19 37/125&=1 7 19 37 61/ldots &=ldots end{aligned}}}$

Die Summe der ersten ${displaystyle n}$ Würfelzahlen ist gleich Quadrat von dem ${displaystyle n}$-das Dreieckszahl:

${Displaystyle-Summe _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3} 2^{3} ldots n^{3}=left({frac {n(n 1)}{2} }Nacht)^{2}}$

Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von höchstens neun Würfelzahlen darstellen (Lösung der Warings Problem für die Leistung 3). Die Zahl 23 zeigt, dass 9 Summanden benötigt werden. Diese Zahl kann dargestellt werden als

${Anzeigestil 23=8 8 1 1 1 1 1 1 1}$,

aber es wird klar sein, dass dies mit weniger Kubikzahlensummen nicht möglich ist.

Würfelzahlen als Zeilensumme^[2]

Beliebige Würfelzahl ${displaystyle n^{3}}$ ist die Summe von a arithmetische Zeile von ${displaystyle n}$ Zahlen, mit dem ersten Element ${displaystyle n}$ und als unterschied ${Displaystil 2n}$:

• 2³ = 2 6
• 3³ = 3 9 15
• 4³ = 4 12 20 28
• 5³ = 5 15 25 35 45
• 6³ = 6 18 30 42 54 66
• 7³ = 7 21 35 49 63 77 91 ...

Beliebige Würfelzahl ${displaystyle n^{3}}$ ist auch die Summe einer arithmetischen Folge von ${displaystyle n}$ Zahlen, mit dem ersten Element ${Displaystil n^{2}-n 1}$ und als Differenz 2 (wie oben schon angedeutet):

• 2³ = 3 5
• 3³ = 7 9 11
• 4³ = 13 15 17 19
• 5³ = 21 23 25 27 29
• 6³ = 31 33 35 37 39 41
• 7³ = 43 45 47 49 51 53 55 ...

Beliebige Würfelzahl ${displaystyle n^{3}}$ ist auch die Summe einer arithmetischen Folge von ${displaystyle n}$ Zahlen, mit dem ersten Element ${Anzeigestil (n-2)^{2}}$ und als Differenz 8:

• 2³ = 0 8
• 3³ = 1 9 17
• 4³ = 4 12 20 28
• 5³ = 9 17 25 33 41
• 6³ = 16 24 32 40 48 56
• 7³ = 25 33 41 49 57 65 73 ...

Die Summe aller Zahlen in einem Quadrat von ${displaystyle n}$ auf ${displaystyle n}$ Quadrate, die oben links in diesem unendlich erweiterbaren Tisch verankert sind, ist gleich dem Würfel von ${displaystyle n}$

Beliebige Würfelzahl ${displaystyle n^{3}}$ ist auch die Summe einer arithmetischen Folge von ${displaystyle n}$ Zahlen, mit dem ersten Element ${Anzeigestil n(n 1)/2}$ und als unterschied ${displaystyle n}$:

• 2³ = 3 5
• 3³ = 6 9 12
• 4³ = 10 14 18 22
• 5³ = 15 20 25 30 35
• 6³ = 21 27 33 39 45 51
• 7³ = 28 35 42 49 56 63 70...

Jede Zahl in einer solchen Folge ist selbst die Summe von ${displaystyle n}$ fortlaufende Nummern; zum Beispiel für 5³:

15 = 1 2 3 4 5

20 = 2 3 4 5 6

25 = 3 4 5 6 7

30 = 4 5 6 7 8

35 = 5 6 7 8 9

Eine Würfelzahl ${displaystyle n^{3}}$ ist also die Summe aller Zahlen in a ${displaystyle n}$ auf ${displaystyle n}$ Quadrat mit den Zahlen 1 bis . in der ersten Reihe ${displaystyle n}$ und wobei die Zahlen in einer nachfolgenden Reihe immer um eins höher sind als die Zahl darüber. Die Summe der Zahlen auf den Diagonalen dieses Quadrats ist Quadratzahl${displaystyle n^{2}}$.

Eine alternative Ausdrucksweise ist: if is ${Displaystil N}$ die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis ${displaystyle n}$ ist dann

${Anzeigestil n^{3}=N (N n) (N 2n) lPunkte (N (n-1)n)}$

Dieses Anwesen wurde erstmals 1763 identifiziert Georg Christoph Lichtenberg bemerkte.^[3]

Externer Link

• (und) Würfelnummer auf MathWorld