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Jedes Quadrat wird grafisch als Quadrat dargestellt.

Es Quadrat (von Latein: quadratus, Quadrat) von a Nummer ist ein anderer Name für die zweite Leistung einer Zahl. Das Quadrat erhält man, indem man die Zahl zu sich selbst addiert multiplizieren:

${displaystyle a^{2}=acdot a}$

Das Quadrat von a reelle Zahl ist nicht negativ:

${displaystyle xin mathbb {R} Longrightarrow x^{2}geq 0}$

Dies gilt nicht generell: aus z.B. der komplexe Zahl${Anzeigestil i}$ ist das Quadrat:

${displaystyle i^{2}=-1}$

Die Quadrate der natürliche Zahlen wird genannt Quadratzahl:

${Anzeigestil 1^{2}=1; 2^{2}=4; 5^{2}=25; ldots }$

Die Verbindung zum Konzept Quadrat wird deutlich, wenn man bedenkt, dass die Oberfläche eines Quadrats ist gleich dem Quadrat der Länge des Seiten.

Das invers des Quadrats der nicht-negativen Zahlen, die Quadratwurzel.

Beispiele

1² = 1 × 1 = 1

3² = 3 × 3 = 9

12² = 12 × 12 = 144

(−3)² = (−3) × (−3) = 9

${displaystyle left({ frac {1}{3}}ight)^{2}={ frac {1}{3}} imes { frac {1}{3}}={ frac {1}{9}}}$

${displaystyle left({sqrt {3}}ight)^{2}=3}$

Bemerkenswerte Produkte

Eine Anzahl von bemerkenswerte Produkte besteht aus Quadraten:

• ${displaystyle (a b)^{2}=a^{2} 2ab b^{2}}$
• ${Anzeigestil (a-b)^{2}=a^{2}-2ab b^{2}}$
• ${displaystyle (a b c)^{2}=a^{2} b^{2} c^{2} 2ab 2ac 2bc}$

Summe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen

Das Summe von aufeinanderfolgenden ungerade Zahlen ergibt die Quadrate:

Es gilt:

${Displaystyle Summe _{k=0}^{n-1}(2k 1)=2sum _{k=0}^{n-1}kn=2cdot {frac {n(n-1)}{2}} n=n^{2}-nn=n^{2}}$, vor dem ${Anzeigestil n>0}$.

Die Gleichheit ${Anzeigestilsumme _{k=0}^{n-1}k={frac {n(n-1)}{2}}}$ kann mit Hilfe von volle Einweisung nachgewiesen werden.

Es ist ausgeschrieben:

• 1² = 1
• 2² = 1 3
• 3² = 1 3 5
• 4² = 1 3 5 7
• 5² = 1 3 5 7 9
• 6² = 1 3 5 7 9 11
• 7² = 1 3 5 7 9 11 13
• usw.

Die zunehmenden Unterschiede ${Anzeigestil (n 1)^{2}-n^{2}=2n 1}$ durchläuft alle ungeraden Zahlen, für ${Anzeigestil n=25}$ beispielsweise:

${displaystyle { egin{matrix}longleftarrow &&26&&longrightarrow &&// imes & imes &ldots & imes &circ &uparrow / imes & imes &ldots & imes &circ &25/vdots &vdots &ddots &vdots &vdots &downsarrow &circimelds&circimelds&&circendmatrix &{longdotsarrow & &circendmatrix &{longdotsarrow & &circendmatrix }$

${displaystyle 26^{2}-25^{2}=2 imes 25 1}$

Außerhalb der Mathematik

• Der Begriff Quadrat wird auch im Niederländischen verwendet, um bestimmte Konzepte zu verstärken oder hervorzuheben.^[1] Beispielsweise:
  • Diese Person ist ein Arschloch - diese Person ist sehr dumm.
  • Das ist lecker im Quadrat - das ist besonders lecker.
• In dem Typografie ist ein Quadrat (da auch Quadrat genannt Platz mit einer Dicke (Breite) entsprechend der Dicke des verwendeten Korps.

Hinweis

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