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In dem Mathematik ist ein leere Funktion ein Funktion von denen es Domain das leere Sammlung ist. Obwohl auf den ersten Blick bemerkenswert, ist der Begriff einer leeren Funktion eine Folge der formalen Definition des Funktionsbegriffs. Schließlich ist eine Funktion a Beziehung zwischen der Domäne und dem codomain für was jeder Element aus der Domäne ist genau ein Element in der Co-Domäne, so dass es Paar gehört zur Funktion (der Relation). Mit der leeren Menge als Domäne ist die Relation mit einem leeren Diagramm in Bezug auf diesen Zustand. Für die Sammlung ${Anzeigestil V}$ als Codomain lautet die Funktion:

${displaystyle f_{V}:varnothing o V}$

eine leere Funktion. Dies ist nämlich eindeutig bestimmt, wenn:

${displaystyle g:varnothing o V}$,

dann ist

${displaystyle forall xin varnothing :f_{V}(x)=g(x)}$,

So

${displaystyle g=f_{V}}$.

Dass nicht alle leeren Funktionen gleich sind, beruht auf der formalen Definition, bei der auch die Codomain Teil der Funktion ist. Ebenso die Funktionen ${displaystyle f:mathbb {R} _{ } oder mathbb {R} _{ };xmapsto {sqrt {x}}}$ und ${displaystyle g:mathbb {R} _{ } oder mathbb {R} ;xmapsto {sqrt {x}}}$ formal anders.

Formal kann man vom Graphen einer leeren Funktion sprechen. Das Diagramm einer leeren Funktion ${displaystyle f}$ mit codomain ${Anzeigestil V}$ ist die leere Menge, denn der Graph ist a Teilmenge muss davon sein kartesisches Produkt${displaystyle varnothing imes V=varnothing }$ der Domäne und der Co-Domäne.

Ein Sonderfall ist die leere Funktion ${displaystyle f_{varnothing}:varnothing oder varnothing}$ dass die identisches Bild ist auf der leeren Menge. Seine Existenz ist in der . erforderlich Kategorientheorie so, dass die Kategorie der Sammlungen in der Tat a Kategorie ist.