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Lemma van Fatou

Es Lemma von Fatou, benannt nach Pierre Fatou, ebenfalls Lemma von Fatou-Lebesgue erwähnt, ist eine wichtige Hilfe bei der Mathematik was zeigt, dass für eine Folge von nicht-negativen messbaren Funktionen das Lebesgue-Integral des liminf der Folge ist durch den Liminf der Lebesgue-Integrale der Funktionen begrenzt.

Lemma

Lassen Sie für jede natürliche ${displaystyle n}$

{displaystyle f_{n}:S o [0,infty ]}

sei eine nicht-negativ messbare Funktion auf der Raum messen ${Anzeigestil (S,Sigma,mu).}$ Dann die Funktion

{displaystyle f(x)=liminf_{n o infty}f_{n}(x)}

messbar und es gilt:

{displaystyle int _{S}f,{m {d}}mu leq liminf _{n o infty }int _{S}f_{n},{m {d}}mu ,}

Beweise

Die hier angegebenen Beweise verwenden die monotoner Konvergenzsatz. Name

{displaystyle g_{k}(x)=inf_{ngeq k}f_{n}(x),}

dann die reihe ${Anzeigestil (g_{n})}$ aufsteigend und punktweise konvergent zu ${Anzeigestil f.}$

wenn ${displaystyle kleq n}$ , gilt

{displaystyle g_{k}leq f_{n},}

Desweiteren

{displaystyle int _{S}g_{k},{m {d}}mu leq int _{S}f_{n},{m {d}}mu ,}

so dass

{displaystyle int _{S}g_{k},{m {d}}mu leq inf _{ngeq k}int _{S}f_{n},{m {d}}mu .}

Mit dem monotonen Konvergenzsatz folgt nun:

{displaystyle int _{S}liminf _{no infty }f_{n},{m {d}}mu =lim _{ko infty }int _{S}g_{k},{m {d}}mu leq lim _{ko infty }inf _{ngeq k}int _{S}f_{n},{m {d}}mu =liminf _{no infty }int _{S}f_{n},{m {m {d}}mu ~.}

Beispiel

Dass Integral und liminf nicht einfach vertauscht werden können, zeigt das folgende Beispiel, in dem die Ungleichung strikt gilt.

nehmen ${Anzeigestil S=[0,1],}$ ausgestattet mit dem Borel-Algebra und der Lebesgue-Größe und sie

{displaystyle f_{n}(x)={ egin{cases}n&{ ext{for }}0

Dann konvergiert die Funktionsreihe punktweise gegen 0, aber alle Integrale sind gleich 1.

Siehe auch