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Das borelstam ist ein mathematische Struktur was angibt, inwieweit die offene Sammlungen von a topologischer Raum einen messbaren Unterschied machen zwischen den Punkte von diesen Platz. Er ist benannt nach Emile Borel. Anfangs war der Borel-Stamm auf der Sammlung der reale Nummern (unter Verwendung der üblichen Topologie) als Ausgangspunkt für die Maßtheorie.
Originaldefinition
Das borelstam oder Borelalgebra auf der Menge der reellen Zahlen ist die kleinste Sigma-Algebra das alles offen Intervalle enthält.
Im Allgemeinen ist die Überschneidung von allen Sigma-Algebren, die eine gegebene Familie von Mengen umfassen, wiederum eine Sigma-Algebra (und damit die eindeutig kleinste).
Der Borelbestand ändert sich nicht, wenn in der Definition "offene Intervalle" durch "Intervalle" oder durch "offene Mengen" ersetzt werden.
Beispiele
Praktisch alle Mengen, die beim Studium der reellen Zahlen auftreten, sind messbar. Man muss etwas arbeiten, um einen zu bekommen Gegenbeispiel finden. Beispiele für Borel-messbare Mengen sind: alle Intervalle (offen, geschlossen, halboffen, Halblinien, die ganze reelle Achse) und abzählbare (insbesondere endliche) Mengen reeller Zahlen.
Unvollständig
Der Borelstamm kann mit dem regulären borelmaat. Das resultierende Raum messen ist unvollständig in dem Sinne, dass a Teilmenge von a Nullmenge ist nicht immer messbar. Die Vollendung des Borel-Stammes wird als . bezeichnet lebesguestam.
Allgemeine Definition
Das borelstam auf jedem topologischen Raum ist die kleinste Sigma-Algebra, die alle offenen Mengen enthält.
Borel-Stamm eines polnischen Raums
EIN Polnischer Raum ist ein topologischer Raum, dessen Topologie von a volltrennbarmetrischer Raum.
Eine Aussage von Kazimierz Kuratowski lautet: wenn ein unzählbar Polnischer Raum, dann existiert a bijektion zwischen und die messbare Sammlungen messbaren Sammlungen in beide Richtungen (für die jeweiligen Borel-Stämme) zuordnet.
