WikiDer > Mann Whitney-Schlüssel

Das Mann Whitney Test, ebenfalls Mann-Whitney-Wilcoxon-Test genannt, ist ein verteilungsfreistatistischer Test, um zu überprüfen, ob zwei unabhängigProben stammen aus der gleichen Population oder Verteilung. Der Schlüssel, der dem entspricht Wilcoxon-Test, vergleicht die gegenseitige Lage der Probenelemente, so dass die Beobachtungen von mindestens Ordinal- Niveau sein sollte. Der Test wurde ursprünglich entwickelt von Frank Wilcoxon 1945 für gleich große Stichproben und 1947 verallgemeinert um Henry Mann und Donald Whitney.

Beispiel

Ein Vermesser hat ein neues Theodolit weil der alte ersetzt werden muss. Das Instrument hat die gleiche Marke und das gleiche Design wie das alte. Um zu überprüfen, ob die Nullstellungen der Instrumente gleich sind, misst er mit beiden Instrumenten mehrmals die gleiche Höhe. Er nimmt 10 Messungen X mit dem alten Instrument und 12 Messungen Y mit dem neuen vor.

Wir können davon ausgehen, dass die Ausschüttungen von X und von Y sind bis auf eine Verschiebung gleich.

Das Nullhypothese besteht darin, dass die Nulleinstellungen gleich sind, sodass die Verteilungen ohne Versatz genau gleich sind. Als Alternativhypothese nehmen wir der Einfachheit halber eine einseitige, nämlich dass das neue Instrument systematisch zu hoch misst.

Mit dem alten Instrument misst er sukzessive:

Mit dem neuen Instrument misst er:

Die Ergebnisse ordnen wir nach größe:

Fortsetzungstabelle:

13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
Ja	X	X	Ja	X	X	Ja	Ja	Ja	Ja
3,0162	3,0163	3,0164	3,0167	3,0169	3,0175	3,0177	3,0178	3,0187	3,0190

Dann bringen wir die Maße aus der Tabelle in eine Reihe:

X X X Y X Y X Y Y X Y Y Y X X Y X X Y Y Y Y

Unter der Nullhypothese ist die Wahrscheinlichkeit eines X für jede Stelle in der Reihe gleich, aber unter der Alternativhypothese gibt es X am Anfang der Reihe mit größerer Wahrscheinlichkeit und Y am Ende der Reihe. Im Extremfall waren die Messungen wie folgt:

X X X X X X X X X X X Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y

Klar ist: Das neue Instrument liefert systematisch höhere Werte als das alte. Wenn wir finden:

Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X

Auch wenn dies wie ein ganz besonderes Ergebnis erscheinen mag, gibt es keinen Grund, dem neuen Instrument zu misstrauen.

Was sollen wir aus dem erhaltenen Ergebnis schließen? Auf den ersten Blick erscheinen die X eher links und die Y mehr rechts. Also Beweis gegen die Nullhypothese. Aber ist dieses Ergebnis aussagekräftig? Um dies zu überprüfen, berechnet die Teststatistik U für jedes der Elemente einer Stichprobe, beispielsweise für die Xs, wie viele Elemente der anderen Stichprobe Y kleiner sind. Also in unserem Fall:

U = 0 0 0 1 2 4 7 7 8 8 = 37

Je kleiner U ist, desto mehr Gründe gibt es natürlich, die Nullhypothese abzulehnen. Aber ist unser Ergebnis U=37 zu klein? Mit Wahrscheinlichkeit kann die Verteilung von U unter der Nullhypothese bestimmt werden, indem man die Tatsache nutzt, dass, wenn die Nullhypothese wahr ist, alle möglichen Anordnungen der X und Y gleich wahrscheinlich sind. Diese Berechnung müssen wir nicht immer selbst durchführen, dafür gibt es Tabellen.

Definition

Die Zwei zufällige Variablen${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ sein voneinander unabhängig und kontinuierlich verteilt mit Verteilungsfunktionen${Anzeigestil F}$ beziehungsweise ${Anzeigestil G}$ die bis auf einen Versatz gleich sind. Es gilt:

${Anzeigestil G(x)=F(x-a)}$.

Von ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ sein Stichproben${displaystyle X_{1},ldots ,X_{m}}$ und ${displaystyle Y_{1},ldots ,Y_{n}}$ und gegeben.

Die Teststatistik ${Displaystil U}$ des Mann-Whitney-Schlüssels zum Testen der Nullhypothese

${Displaystil H_{0}:a=0,}$

ist definiert durch:

${Anzeigestil U=Summe _{i=1}^{m}Summe _{j=1}^{n}S(X_{i},Y_{j})}$,

in welchem ${Anzeigestil S(X,Y)=1}$ wenn ${Anzeigestil X$ und 0 sonst. Je nach Alternativhypothese wird die Nullhypothese bei zu kleinen, zu großen oder zu kleinen und zu großen Werten von rejected verworfen ${Displaystil U}$.

Die Teststatistik ${Displaystil U}$ hängt einfach mit der Teststatistik zusammen ${displaystyle W_{m,n}}$ des Wilcoxon-Test. Es gilt:

${Displaystil U=W_{m,n}-{ frac {1}{2}}m(m 1)}$

Genaue Verteilung

Für Muster mit Größe ich und nein, kann die genaue Verteilung der Teststatistik sein SIE unter der Nullhypothese mit Kombinatorik leicht bestimmt werden. Bei größeren Stichen erhöht sich jedoch der Rechenaufwand erheblich.

Normaler Ansatz

Für größere Werte der Stichprobenumfänge ${displaystyle m}$ und ${displaystyle n}$ kann a normaler Ansatz angewendet werden. Der Erwartungswert und die Varianz von ${Displaystil U}$ unter der Nullhypothese sind gegeben durch:

${displaystyle operatorname {E} _{0}U={ frac {1}{2}}mn}$

${displaystyle operatorname {var} _{0}(U)={ frac {1}{12}}mn(m n 1)}$

Siehe auch

• Wilcoxon
• Rangzeichenschlüssel