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In dem Wahrscheinlichkeit spielt das Konzept Wahrscheinlichkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsverteilung oder -Verteilung (nicht zu verwechseln mit dem gleichnamigen Konzept Verteilung in dem Analyse) eine zentrale Rolle. In einem Experiment, in dem die Zufall eine Rolle spielt, gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung an, wie "die Quoten verteilt sind". Theoretisch hat dies eine bestimmte Bedeutung, aber im Allgemeinen bezieht sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf die Gesamtheit möglicher Ergebnisse und zugehöriger Wahrscheinlichkeiten.

Bei einem sauberen Würfel wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der geworfenen Augen beispielsweise als gleich 1/6 für jedes Ergebnis beschrieben. Streng genommen ist dies jedoch die Wahrscheinlichkeitsfunktion, mit der die Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmt wird.

Der formale Begriff der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist vor allem von theoretischer Bedeutung und auch dort noch häufiger mit dem Verteilungsfunktion, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig bestimmt. Bei diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist die Verteilungsfunktion wiederum vollständig bestimmt durch a Wahrscheinlichkeitsfunktion und mit kontinuierlicher Wandel (absolut kontinuierlich Verteilungsfunktion) durch a Wahrscheinlichkeitsdichte.

Formale Definition einer (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung

Das Wahrscheinlichkeitsverteilung von a stochastische Variable${Anzeigestil X}$ ist der Zufallsmaß${Displaystil P_{X}}$ definiert für (messbar) Teilmengen ${Anzeigestil B}$ von ${displaystyle mathbb {R} }$ durch:

${Anzeigestil P_{X}(B)=Pcirc X^{-1}(B)=P(Xin B)=P({Omega in Omega |X(Omega )in B})}$

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der stochastischen Variablen ${Anzeigestil X}$ kann vollständig bestimmt werden durch die (kumulative Wahrscheinlichkeit)Verteilungsfunktion${Displaystil F_{X}}$ von ${Anzeigestil X}$, definiert von:

${Anzeigestil F_{X}(x)=P_{X}((-infty ,x])=P(Xleq x)}$

Umgekehrt bestimmt die Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung, da die Intervalle die messbaren Mengen ergeben.

Übrigens, auch ohne Bezug auf eine stochastische Variable ist das Wahrscheinlichkeitsmaß ${Anzeigestil P}$ als Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet. Dies ist auch die Wahrscheinlichkeitsverteilung der stochastischen Variablen ${displaystyle X(x)=x, (xin mathbb {R})}$.

Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Nachfolgend sind einige bekannte Wahrscheinlichkeitsverteilungen aufgeführt. Je nach Typ stochastische Variable (kontinuierlich oder diskret) lassen sich die Beispiele für Wahrscheinlichkeitsverteilungen auch in kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen und diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen unterteilen. Es betrifft den allgemeinen Begriff der Wahrscheinlichkeitsverteilung, gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion in einer diskreten Situation oder durch die Wahrscheinlichkeitsdichte im kontinuierlichen Fall.

• Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  • Stochastische Variablen mit endlichem Wertebereich
    • entartete Verteilung Biene ${displaystyle x_{0}}$, bei welchem ${Anzeigestil X}$ mit Wahrscheinlichkeit 1 der Wert ${displaystyle x_{0}}$ wird adoptieren
    • gleichmäßige Verteilung (diskret), wobei alle Elemente einer endlichen Sammlung gleiche Chance haben (z.B. beim Werfen einer sauberen Münze oder sauberer Würfel)
    • Bernoulli-Verteilung, die mit Wahrscheinlichkeit den Wert 1 hat ${displaystyle p}$, und der Wert 0 mit Wahrscheinlichkeit ${displaystyle q=1-p}$
    • Binomialverteilung, die die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von 'Erfolgsfällen' angibt, wenn eine Reihe von unabhängigen 'Ja/Nein'-Experimenten durchgeführt wird
    • hypergeometrische Verteilung, was die Anzahl der 'Erfolge' im ersten angibt ${displaystyle m}$ aus einer Reihe von ${displaystyle n}$unabhängig „Ja/Nein“-Experimente bei einer gegebenen Gesamtzahl von Erfolgen
  • Stochastische Variablen mit unendlichem Wertebereich
    • geometrische Verteilung, die die Anzahl der „Versuche“ für den ersten Erfolg in einer Reihe von unabhängigen Ja/Nein-Experimenten angibt; "auf Erfolg warten";
    • negative Binomialverteilung, eine Verallgemeinerung der geometrischen Verteilung (${displaystyle n}$-der Erfolg statt erster Erfolg); "warten auf ${displaystyle n}$- der Zeiterfolg"
    • Poisson-Verteilung, Wahrscheinlichkeiten einer bestimmten Anzahl sporadischer Ereignisse innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls
• Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  • Auf einem endlichen Intervall
    • gleichmäßige Verteilung (kontinuierlich) auf ${Anzeigestil [a,b]}$
    • Betaverteilung auf ${displaystyle[0,1]}$, eine Verallgemeinerung der Gleichverteilung
    • Dreiecksteilung auf ${Anzeigestil [a,b]}$
  • Auf einem unbeschränkten Intervall, zum Beispiel ${displaystyle [0,infty )}$
    • Exponentialverteilung, Wahrscheinlichkeiten einer bestimmten Zeitspanne zwischen aufeinanderfolgenden zufälligen Ereignissen, in einem Prozess 'ohne Gedächtnis'
    • Gammaverteilung, Chance auf eine gewisse Zeit bis ${displaystyle n}$ aufeinanderfolgende zufällige Ereignisse sind in einem 'ohne Gedächtnis'-Prozess aufgetreten
    • Erlang-Verteilung, Sonderfall der Gammaverteilung, um Wartezeiten in der Warteschlange vorherzusagen
    • Lognormalverteilung
    • Weibull-Verteilung
    • Chi-Quadrat-Verteilung, die Summe der Quadrate von ${displaystyle n}$ unabhängige Gaußsche stochastische Variablen; verwendet in der Statistik
    • F-Verteilung, Wahrscheinlichkeitsverteilung des Quotienten zweier normalverteilter Stochs. Variablen
    • Pareto-Verteilung, wird häufig in Situationen beobachtet, in denen eine bestimmte Menge ungleichmäßig über eine Population verteilt ist
  • Auf ${displaystyle mathbb {R} }$
    • Normalverteilung, auch Gaußsche Verteilung genannt, die in der zentraler Grenzwertsatz spielt eine wichtige Rolle
    • Schülerverteilung oder t-Verteilung, verwendet, um eine Unbekannte zu schätzen Erwartung einer Normalverteilung
    • Cauchy-Verteilung

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