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Die ersten Ebenen des Markov-Zahlenbaums

EIN Markov-Nummer ist etwas Positives ganze Zahlen${Anzeigestil x,,y}$ und ${Anzeigestil z}$ die Teil einer Lösung von sind diophantische Gleichung:

${Anzeigestil x^{2} y^{2} z^{2}=3xyz}$

Frobenius nannte diese Nummern 1913 die 13 Zahlen von Markoff und die diophantische Gleichung de Vergleich von Markoff.^[1] Sie sind benannt nach Andrey Markov. Die Gleichung trat in der Theorie von . auf binäre quadratische Formen, das von Markov studiert wurde (Markoff veröffentlichte auf Französisch und verwendete die französische Transliteration seines Namens, Markoff).^[2][3] Die Nummern erscheinen auch im diophantischer Ansatz von reellen Zahlen durch rationale Zahlen.

Die Lösungen der Gleichung sind Tripel ${Anzeigestil(x,y,z)}$. Die Variablen ${Anzeigestil x,,y}$ und ${Anzeigestil z}$ kann permutiert werden, weil die Gleichung in . symmetrisch ist ${Anzeigestil x,,y}$ und ${Anzeigestil z}$. Lösungen werden nach Konvention in der normalisierten Form geschrieben, wobei ${displaystyle xleq yleq z)}$. Die Gleichung hat die trivialen Lösungen (1,1,1) und (2,1,1); (1,2,1) und (1,1,2) gelten als die gleiche Lösung. Daraus lassen sich weitere Lösungen ableiten. wenn ${Anzeigestil(x,y,z)}$ ist eine Lösung, dann ${displaystyle(x,y,3xy-zz)}$ auch eine Lösung; dies folgt aus der Tatsache, dass die Gleichung quadratisch ist in ${Anzeigestil x,,y}$ und ${Anzeigestil z}$. Aus (2,1,1) lässt sich ableiten, dass auch (2,1,5) oder (1,2,5) eine Lösung ist; aus (5,1,2), dass (5,1,13) oder (1,5,13) eine Lösung ist, und so weiter.

Es gibt unendlich viele Lösungen und unendlich viele Markov-Zahlen. Die ersten Markov-Zahlen sind:

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ...^[4]

Markov-Baum

Die Lösungen der Gleichung können sein: Binärbaum vorstellen. Jede Lösung ist der "Elternteil" von zwei verschiedenen Lösungen, die von ihr nach dem oben beschriebenen Mechanismus abgeleitet wurden (mit oder ohne Permutation).

Der Baum wird manchmal in vereinfachter Form dargestellt, wobei nur die ${Anzeigestil z}$Werte.

Markovs Verdacht

In diesem Baum einige Werte von ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ kommen mehrmals vor, aber die Werte von ${Anzeigestil z}$: 1, 2, 5, 13, 29, 34, 169, 194, 433, ... sind anscheinend einzigartig. Es ist ein offenes Problem, ob alle Werte von ${Anzeigestil z}$ einzigartig sein. In den ersten 1046858 Markov-Tripeln wurden keine Gegenbeispiele der Vermutung gefunden.^[4]

Es Vermutung der Einzigartigkeit oder Markov-Vermutung, erstmals 1913 von Frobenius formuliert^[1], sagt, dass ${Anzeigestil z}$, als größtes Mitglied eines Markov-Tripels, bestimmt eindeutig die anderen beiden Mitglieder. Das bedeutet: ${Anzeigestil z}$ kann nicht die größere Zahl von zwei verschiedenen Tripeln sein ${Anzeigestil(x,y,z)}$ und ${Anzeigestil(s,t,z)}$, die beide eine Lösung der Markov-Gleichung sind.

D. Rosen und G. S. Patterson fanden 1970-71 heraus, dass die Vermutung für alle Markov-Zahlen mit einer Länge von bis zu 30 Stellen (insgesamt 893 Zahlen) richtig ist.^[5] Die Vermutung ist für bestimmte Zahlenklassen bewiesen,^[6] zum Beispiel wenn ${Anzeigestil y}$ ist eine Potenz von a Primzahl.^[7] Ein allgemein anerkannter, allgemein gültiger Beweis wurde jedoch noch nicht gefunden, aber Norbert Riedel belegt in einem Artikel aus dem Jahr 2012 (mehrmals später angepasst).^[8] Ein zuvor von Riedel vorgeschlagener Beweis aus dem Jahr 2007 erwies sich als nicht ganz richtig.^[9][10]

Man kann die Vermutung anhand des vereinfachten Markov-Baums mit nur ${Anzeigestil z}$Werte. Für ein gegebenes ${Anzeigestil z}$-Wert kann man de ${Anzeigestil x}$- und ${Anzeigestil y}$- Finden Sie Werte des Markov-Tripels, indem Sie das berücksichtigen ${Anzeigestil x}$ oder ${Anzeigestil y}$ entspricht dem ${Anzeigestil z}$-Wert des "Elternteils" im Baum; und der fehlende Wert ist dann die Lösung von a quadratische Gleichung; zum Beispiel für ${Anzeigestil z=169}$ ist ${Anzeigestil y=29}$ und ${Anzeigestil x}$ ist die Lösung der quadratischen Gleichung ${Anzeigestil x^{2}-14703x 29402=0}$, was weniger als 169 ist; dies ist 2. Wenn die Vermutung falsch war, bedeutet dies, dass es ein Markov-Tripel gibt, das über mehr als einen Pfad durch den Markov-Baum erreicht werden kann; der Markov-Baum würde sich nicht als binärer Baum herausstellen.

Andere Eigenschaften

• Abgesehen von den singulären Lösungen (1,1,1) und (1,1,2) besteht jedes Markov-Tripel aus drei verschiedenen Zahlen, die zu zweit addiert werden. gegenseitig unteilbar sein.
• Das pell zahlen mit ungeradem Index: 1, 5, 29, 169, 985,... sind Markov-Zahlen. Sie sind die ${Anzeigestil z}$-Werte der Tripel auf der linken Seite des Baumes (unten in der nach rechts geneigten Figur). Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen in dieser Folge konvergiert gegen ${displaystyle 3 2{sqrt {2}}ca. 5{,}8284ldots }$
• Das Fibonac-Zahlen mit ungeradem Index: 1, 2, 5, 13, 34, 89, 233,... sind Markov-Zahlen. Sie sind die ${Anzeigestil z}$-Werte der Tripel auf der rechten Seite des Baums (oben in der Abbildung unten). Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen in dieser Folge konvergiert gegen ${displaystyle {frac {3 {sqrt {5}}}{2}}ca. 2.618...}$
• Jede ungerade Markov-Zahl hat die Form ${Displaystil 4k 1}$, ein Vierfaches plus 1.
• Jede gerade Markov-Zahl hat die Form ${Displaystil 8k 2}$ ein achtfaches plus 2.