WikiDer > Fibonaccia-Reihe

Das Fibonaccia-Folge ist benannt nach Leonardo von Pisa, Spitzname Fibonacci ("Sohn von Bonaccio", nämlich von Guglielmo dei Bonaccio). Er ruft die Warteschlange in seinem Buch Liber abaci (Buch des Abakus) von 1202. Die Reihe scheint interessante Eigenschaften und Verbindungen zu haben, unter anderem mit den Goldener Schnitt.

Die Linie (auch genannt Serie von Fibonacci) beginnt mit 0 und 1 und dann ist jedes nachfolgende Element der Folge immer die Summe der beiden vorhergehenden Elemente. Die ersten Elemente der Reihe^[1] sind dann wie folgt:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, ...

Es ist jedoch nicht klar, wer die Reihe zuerst erfunden hat. Als Fibonacci 20 Jahre alt war, ging er zu Algerien Wo ist er indisch und studierte arabische Mathematik. Vielleicht hat er dort die Linie kennengelernt.

Die Sequenz beginnt auch mit 1 und 1 statt mit 0 und 1.

Definition

Die Definition der Fibonacci-Folge ist ein Beispiel dafür, was in der Mathematik ein rekursiv Definition erwähnt. Dies bedeutet, dass die Elemente auf der Grundlage eines oder mehrerer vorheriger Elemente definiert werden; das führt zu a Differenzgleichung. Es neinDie Fibonacci-Zahl ist gegeben durch:

${displaystyle f_{0}=0}$

${displaystyle f_{1}=1}$

${displaystyle f_{n}=f_{n-1} f_{n-2},,{ ext{for }}n>1}$

Die ersten beiden Elemente sind per Definition 0 und 1 (einige verwenden 1 und 1). Jedes nachfolgende Element ist die Summe der beiden vorhergehenden Werte. Andere Werte für die ersten beiden Elemente sind ebenfalls möglich, ergeben aber eine andere Zeile (zum Beispiel die reihe von lucas).

Viele Differenzengleichungen haben nicht geschlossener Ausdruck oder ausdrückliche Vorschrift, mit dem es nein-das Element nur basierend auf der Zahl nein bestimmt werden kann. Es gibt einen solchen Ausdruck für die Fibonacci-Folge:

${displaystyle f_{n}={frac {(1 {sqrt {5}})^{n}-(1-{sqrt {5}})^{n}}{2^{n}{sqrt {5} }}}}$

Die obige Formel, erstmals 1730 veröffentlicht von Abraham de MoivreSie fällt auf den ersten Blick auf, weil ${displaystyle f_{n}}$ ist eine ganze Zahl, während die Formel Wurzeln enthält. sehen Differenzgleichung zum Beweis dieser Formel.

Generierungsfunktion

Aus der Rekursionsgleichung lässt sich ableiten, dass Erzeugungsfunktion denn die Fibonacci-Folge ist gleich

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }f_{n}x^{n}={frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

Dies kann auf folgende Weise erfolgen:

${displaystyle S=sum _{n=0}^{infty}f_{n}x^{n}}$

${displaystyle =f_{0}x^{0} f_{1}x^{1} Summe _{n=2}^{infty }f_{n}x^{n}}$

${displaystyle =0 1x Summe _{n=2}^{infty}(f_{n-2} f_{n-1})x^{n}}$

${displaystyle =xx^{2}sum _{n=2}^{infty }f_{n-2}x^{n-2} xsum _{n=2}^{infty}f_{n-1}x ^{n-1}}$

${displaystyle =x x^{2}sum _{n=0}^{infty}f_{n}x^{n} xsum _{n=1}^{infty}f_{n}x^{n}}$

${displaystyle =xx^{2}sum _{n=0}^{infty }f_{n}x^{n} xleft(-f_{0}x^{0} left(f_{0}x^{0 } Summe _{n=1}^{infty}f_{n}x^{n}Nacht)}$

${displaystyle =x x^{2}S xleft(sum _{n=0}^{infty}f_{n}x^{n}night)}$

${Anzeigestil =x x^{2}S xS.}$

Es folgt dann:

${displaystyle S={frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

Geschichte

Die Fibonacci-Folge wird bereits im Chhandah-shastra ("Kunst der" Meter") des Sanskrit Schriftsteller Pingala (ca. 450 v. Chr. oder nach anderer Datierung ca. 200 v. Chr.)^[2] unter dem Decknamen Frameeru . messen ("Berg der Kadenz"). Im 6. Jahrhundert ausführlicher behandelt Virahanka und später Acharya Hemachandra (1089-1172) die Zeile, um die zu berechnen Meter zu beschreiben durch die regelmäßige Unterteilung in kurz und lang Silben.

Im Westen war es der italienische Mathematiker Fibonacci, der als erster die Folge in seinem Liber abaci (Buch der Arithmetik) mit dem 'Kaninchenproblem'.^[3]

Kaninchenreihe

Fibonaccis Berechnung einer Kaninchenpopulation in seinem Liber abaci

Die Fibonacci-Folge scheint auch bei der Untersuchung einer Kaninchenpopulation zu erscheinen, daher der Spitzname Kaninchenreihe. Fibonacci hat dafür die folgenden Regeln verwendet:

• wir starten ohne Kaninchenpaare und im ersten Monat haben wir ein junges Paar
• ein Paar ist ab dem zweiten Monat reif
• ein erwachsenes Paar bekommt jeden Monat ein neues Paar Nachkommen
• die kaninchen sterben nicht

Die Anzahl der in einem Monat anwesenden Kaninchenpaare wächst dann genau nach: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ....

Bienen

Eine neue (historische) Analyse von Fibonacci und seinem Werk weist nicht auf Kaninchen, sondern auf Bienen hin. Während seines Aufenthalts in Algerien verbrachte Fibonacci einige Zeit in (in der Nähe) der Stadt Béjaïa – damals ein bedeutender Exporteur von Bienenwachs (Zündkerze, ein französisches Wort für Kerze, leitet sich vom Namen dieser Stadt ab). Im Gegensatz zum Kaninchenproblem, bei dem eine Reihe von nicht immer realistischen Regeln verwendet wird, scheint auch die Entwicklung einer Bienenpopulation nach der Fibonacci-Folge zu verlaufen. Es wird vermutet, dass die Imker von Béjaïa und die Kenntnis der Bienenstammbäume die Inspiration für die Fibonacci-Folge waren.^[4]

Goldener Schnitt und Natur

Fibonacci-Spirale

Man kann die Formel für die verwenden nein- auch den Begriff aus der Serie im . ausdrücken Goldener Schnitt:

${displaystyle f_{n}={{varphi ^{n}-(1-varphi)^{n}} über {sqrt {5}}}}$

Darin ist:

${displaystyle varphi ={frac {1 {sqrt {5}}}{2}}ungefähr 1{,}618}$

die goldene Zahl.

Nimmt man das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen, scheint es sich dem Goldenen Schnitt zu nähern. In dem Grenze wenn dieses Verhältnis sogar gleich ist, kann dies mathematisch geschrieben werden als:

${displaystyle lim _{n o infty }{frac {f_{n 1}}{f_{n}}}=varphi }$

Neben dem Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt tauchen Fibonacci-Zahlen auch anderswo in der Natur auf. Sehen Sie sich zum Beispiel die Struktur von a Sonnenblume und zähle die Zahl Spiralen in dem die Sonnenblumenkerne Sortiert sein. Fibonacci-Folgen spiegeln sich auch in der Verteilung der Äste auf Bäumen wider, die Anordnung der Blätter an Zweigen, die Früchte von a Ananas, die Blumen von a Artischocke, eine Entfaltung Segel, die Anordnung der Skalen von a Tannenzapfen und die bereits erwähnten Honigbienenpopulationen. Auch die Vermehrung von Blumenzwiebeln, wie Schneeglöckchen und Krokussen, erfolgt nach der Fibonacci-Reihenfolge: 1,618-mal so viele Zwiebeln pro Jahr oder ein Wachstum von über 60 %.

Kamille zeigt die 21 (blau) und 13 (hellblau) Spiralen. Solche Anordnungen in Bezug auf aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen kommen in einer Vielzahl von Pflanzen vor.

Fibonacci- und Matrix-Konto

Eine geflieste Wand aus Quadraten mit Abmessungen aus der Fibonacci-Folge

Die Differenzengleichung kann in . sein Matrixform geschrieben werden als:

${displaystyle { egin{bmatrix}f_{n}/f_{n-1}/end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}1&1/1&0/end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}f_{n-1} /f_{n-2}/end{bmatrix}}}$

Das bedeutet schließlich:

${displaystyle f_{n}=f_{n-1} f_{n-2},}$

und

${Anzeigestil f_{n-1}=f_{n-1},}$

Bei wiederholter Anwendung erhalten wir:

${displaystyle { egin{bmatrix}f_{n}/f_{n-1}/end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}1&1/1&0/end{bmatrix}}^{2}{ egin{bmatrix}f_{ n-2}/f_{n-3}/end{bmatrix}}=ldots ={ egin{bmatrix}1&1/1&0/end{bmatrix}}^{n-1}{ egin{bmatrix}f_{1}/ f_{0}/end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}1&1/1&0/end{bmatrix}}^{n-1}{ egin{bmatrix}1/0/end{bmatrix}}}$

Die einzige erforderliche Berechnung besteht darin, die Potenz der folgenden Matrix zu bestimmen:

${displaystyle { start{bmatrix}1&1/1&0/end{bmatrix}}}$

Dies kann gefunden werden, ohne die vorherigen Werte berechnen zu müssen. Es gibt auch eine geschlossene Form für diese Macht, siehe Potenz einer Matrix für die Ausarbeitung.

Verallgemeinerungen

Es gibt Varianten der Fibonacci-Folge, bei denen die Elemente nicht aus der Summe von zwei, sondern aus der Summe von drei oder mehr vorhergehenden Elementen entstehen. Wenn wir die ersten drei Elemente fixieren und aus dem vierten die Summe der drei vorhergehenden Elemente nehmen, erhalten wir eine Folge, die die Folge . hat Tribonaccia wird genannt. Analog spricht man von der Folge von the Tetra(bo)nacci wenn wir die Summe der vier vorhergehenden Zahlen nehmen. Man kann dies weiter verallgemeinern auf die Summe der nein vorherige Elemente. Obwohl Fibonacci (von Filius Bonaccia, Sohn von Bonacci) ist ein Name, Tribonacci und Tetra(bo)nacci natürlich nicht.

• Tribonaccia^[5]: 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, ...
• Tetranaccia^[6]: 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, ...

Diese Zahlenfolgen enthalten jedoch nicht die charakteristischen Eigenschaften, die den Fibonacci-Zahlen zugeschrieben werden; es gibt keine beziehung mit dem Goldener Schnitt, und daher können diese Reihen nicht als Hilfsmittel zur Schaffung dessen dienen, was als „ästhetisches Ideal“ bezeichnet wird.

Fibonacci umgekehrt

Wenn beispielsweise zwei aufeinanderfolgende Terme aus der Fibonacci-Folge bekannt sind ${displaystyle f_{N-1},}$ und ${displaystyle f_{N},}$, kann man den vorhergehenden Teil der Sequenz mit der folgenden rekursiven Formel rekonstruieren:

${displaystyle r_{0}=f_{N},}$

${displaystyle r_{1}=f_{N-1},}$

${Anzeigestil r_{n}=r_{n-2}-r_{n-1},}$ , vor dem nein > 1

Diese Definition erlaubt uns auch ${displaystyle f_{n}}$, vor dem nein < 0 gefunden werden. Die ersten Terme dieser Fibonacci-Negativfolge sehen so aus für ${displaystyle r_{0}=f_{1}=1,}$ und ${displaystyle r_{1}=f_{0}=0,}$:

1, 0, 1, -1, 2, -3, 5, -8, 13, -21, 34, -55, 89, -144, 233, -377, 610, -987, 1597, -2584, 4181, -6765, 10946, ...

Prüfung

Durch einen von Ira Gessel formulierten Test in 1972, lässt sich leicht überprüfen, ob eine Zahl in der Fibonacci-Folge vorkommt:

Die positive ganze Zahl nein erscheint in der Fibonacci-Folge dann und nur dann, wenn${Displaystil 5n^{2} 4}$ oder ${Displaystil 5n^{2}-4}$ ein Quadrat ist.

Die negative ganze Zahl nein tritt in der Fibonacci-Folge genau dann auf, wenn ${Displaystil 5n^{2} 4}$ ist ein Quadrat.

Wissenswertes

Dezimalbrüche

Es gibt rationale Zahlen, die die Fibonacci-Folge in ihrer dezimalen Entwicklung zeigen.

Zum Beispiel in Gruppen mit zwei Dezimalstellen:

${Anzeigestil 1/(1-0.0101)=1.010203.050813.213455.904636.832003.232549...}$

Die Position des Termes 89 wird durch den dreistelligen Term 144 gestört, und zwar wieder durch den nächsten.

In Gruppen mit drei Dezimalstellen:

${Anzeigestil 1/(1-0.001001)=1.001002.003005.008013.021034.055089.144233.377610...}$

Im weiteren Verlauf wird die letzte dreistellige Zahl von ihrem vierstelligen Follower gestört.

Siehe auch

• Fibonacci-Wort
• Reihe von Lucas
• Reihe von Padovan
• Satz von Zeckendorf
• Fibonacci-Gedicht