WikiDer > Multilineares Bild

In dem Mathematik ist ein multilineares Bild ein Bild von mehr veränderbar Das linear ist in jeder der Variablen. Der Begriff linear geht davon aus, dass Operationen im Gange sind Zusatz und Skalarmultiplikation definiert sind, so dass die zugrunde liegenden Mengen normalerweise Vektorräume oder zumindest Module sein.

Definition

Sie ${Anzeigestil R}$ ein Kommutativ Ring und ${displaystyle V_{1},ldots ,V_{n},W}$Module Über ${Anzeigestil R}$. EIN Bild

${displaystyle f:V_{1} imes ldots imes V_{n} oder W}$

von dem kartesisches Produkt der Module ${Displaystil V_{i}}$ zum Modul ${Anzeigestil W}$ heiß multilinear oder ein ${displaystyle n}$-lineares Bild, wie für jeden ${Anzeigestil i}$ und alles ${displaystyle v_{k}in V_{k},v'_{i}in V_{i}}$ und alle Skalare ${displaystyle alpha , eta in R}$

${displaystyle f(v_{1},ldots,v_{i-1},alpha v_{i} eta v'_{i},v_{i 1},ldots,v_{n})=alpha f(v_{ 1},ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i 1}ldots ,v_{n}) eta f(v_{1},ldots ,v_{i-1},v'_{ i},,v_{i 1}ldots v_{n})}$

Diese Anforderung bedeutet, dass ${displaystyle f}$ ist in jedem von ihr linear ${displaystyle n}$ Argumente.

In vielen Fällen ist der Ring ${Anzeigestil R}$ ein Körper/Feld sein und die Module Vektorräume Über ${Anzeigestil R}$.

Die Definition lässt sich analog auf Familien erweitern ${displaystyle {V_{i};iin I}}$ von Modulen über ${Anzeigestil R}$ angezeigt durch die Indexsammlung${Anzeigestil I}$.

Sonderfälle

EIN multilineare Form ist ein multilineares Bild wo das Zielmodul ${Anzeigestil B}$ das Ring${Anzeigestil R}$ selbst.

EIN bilineares Bild ist ein multilineares Bild auf einen Produkt von genau zwei Module. Analog spricht man manchmal von trilinear, quadrilinear, ...Bilder.

Beispiel

Das bestimmend eines Quadrats ${Anzeigestil n imes n}$-Matrix kann verstanden werden als nein-lineare Form auf den Säulen.

Allgemeines ansehen ${Anzeigestil 3 imes 3}$-bestimmend

${displaystyle { egin{vmatrix}a&b&c/d&e&f/g&h&iend{vmatrix}}=aei-afh-bdi bfg cdh-ceg}$

Wenn wir alle 9 Elemente der Matrix einzeln verdoppeln, erhalten wir nicht das Doppelte, sondern das Achtfache der ursprünglichen Determinante, da jeder der Terme auf der rechten Seite mit 2³ wird multipliziert. Die Determinante ist also Nein Linearform auf dem Raum von ${Anzeigestil 3 imes 3}$Matrizen.

Wenn wir jedoch nur die 3 Elemente einer Spalte verdoppeln, verdoppelt sich auch die Determinante, und im Allgemeinen für Zufallszahlen ${displaystyle alpha_{1}}$ und ${displaystyle alpha_{2}}$:

${displaystyle { egin{vmatrix}alpha _{1}a_{1} alpha _{2}a_{2}&b&c/alpha _{1}d_{1} alpha _{2}d_{2}&e&f/alpha _{ 1}g_{1} alpha _{2}g_{2}&h&iend{vmatrix}}=alpha _{1}{ egin{vmatrix}a_{1}&b&c/d_{1}&e&f/g_{1}&h&iend{vmatrix }} Alpha _{2}{ egin{vmatrix}a_{2}&b&c/d_{2}&e&f/g_{2}&h&iend{vmatrix}}}$

mit analogen Gleichungen für die zweite und dritte Spalte. Dies bedeutet, dass die Determinante eine trilineare Form auf dem Raum der 3-Spalten ist.

Unterschied zu sesquilinear

Wenn wir für ${Anzeigestil R}$ der Körper des komplexe Zahlen nehmen (damit ${Anzeigestil B}$ und ${Displaystil A_{i}}$ Komplex Vektorräume sind), dann neben dem Konzept bilineares Bild auch das von sesquilinear Bild nützlich und aktuell. Obwohl eine sesquilineare Karte ist linear in der ersten Komponente, aber linear hinzugefügt in der zweiten Komponente.