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Die Abbildung veranschaulicht die geometrische Addition einer kubischen Kurve im projektiver Raum. Das Ringtheorie hat wichtige Anwendungen in der algebraische Geometrie.

In dem Ringtheorie, eine Unterregion der abstrakte Algebra, ist ein Ring ein algebraische Struktur, bestehend aus a Sammlung${Anzeigestil V}$ auf welchen zwei bearbeitet definiert sind, die intuitiv entsprechen summieren und multiplizieren.

Die ganzen Zahlen ${displaystyle mathbb {Z} }$, das quadratische Matrizen und die Sammlung von Polynome sind Beispiele für Ringe. Das Rationale Zahlen${displaystyle mathbb {Q} }$ und der reale Nummern${displaystyle mathbb {R} }$ sind Beispiele für Ringe mit der üblichen Addition und Multiplikation, aber auch Felder B oder Stellen NL.

Der Begriff Ring, der sich aus der Definition von unten ableitet Emmy Noether stammt, spielt in vielen Bereichen der reine Mathematik, insbesondere die abstrakte Algebra. Um sich als Ring zu qualifizieren, muss das Set zusammen mit beiden Operationen bestimmte Bedingungen erfüllen: abelsche Gruppe und unter Multiplikation a monoid sein.^[1] Obwohl diese Operationen von vielen bekannt sind mathematische Strukturen, wie Zahlensysteme des ganze Zahlen, sie können sich auch ganz allgemein auf verschiedenste mathematische Objekte beziehen. Dadurch können Objekte unterschiedlichster mathematischer Herkunft flexibel und unter Beibehaltung wesentlicher struktureller Aspekte in der abstrakten Algebra und darüber hinaus untersucht werden. Der Zweig der Mathematik, der Ringe studiert, ist bekannt als Ringtheorie.^[2]

Ringe entsprechen grundsätzlich dem Zahlentheorie und der Lineare Algebra. Die Zahlentheorie hat mehrere entsprechende Sätze in der Ringtheorie. Das Hauptsatz der Arithmetik entspricht beispielsweise einer bestimmten speziellen Klasse von Ringen, bekannt als eindeutige Faktorisierungsdomänen. Die Theorie von Matrixringe ist zum Beispiel eine auffallende Konsequenz der Art und Weise, wie die nichtkommutative Ringtheorie verwendet werden kann, um die fundamentale Naturgesetze die zugrunde liegen spezielle Relativitätstheorie, und Symmetriephänomene im molekularen Chemie, leichter zu verstehen.

Zunächst Richard Dedekind in den 1880er Jahren entstand das Konzept eines Rings aus Versuchen, Fermats letzter Satzmat beweisen. Andere Bereiche der Mathematik, hauptsächlich die Zahlentheorie, trug zur Ringtheorie bei, aber in den 1920er Jahren wurde die Theorie von Emmy Noether gegeben, Emil Artin, Wolfgang Krull und andere eine feste und allgemeine Form.^[3] Die moderne Ringtheorie ist eine sehr aktive mathematische Disziplin und verleiht Ringen ihre eigene Existenzberechtigung. Ringtheoretiker unterscheiden zwischen der Theorie der Kommutative Ringe und nicht kommutative Ringe. Diese letztere Theorie gehört zu den algebraische Zahlentheorie und der algebraische Geometrie. Das Nicht-Kommutativ Teilungsringe sind ein Thema davon. Seit seiner Entdeckung in den 1980er Jahren durch Alain Connes einer mysteriösen Verbindung zwischen der nichtkommutativen Ringtheorie und der Geometrie ist die nicht-kommutative Geometrie ist zu einer besonders aktiven Disziplin innerhalb der Ringtheorie geworden.

Um Ringe zu untersuchen, haben Mathematiker mehrere Konzepte geprägt, um Ringe in kleinere, verständlichere Teile zu zerlegen, wie z Ideale, Quotientenringe und einzelne Ringe. Aber es gibt auch eine Hierarchie von Teilmengen zwischen den Ringen und dem Felder B oder Stellen NL.^[4] Das Felder B oder Stellen NL werden ebenfalls sorgfältig studiert. Jeder Körper B oder Körper NL ist per Definition a Kommutativer Ring.

Illustration

Erstes Beispiel: die ganzen Zahlen

Das bekannteste Beispiel ist das Ring ${displaystyle mathbb {Z} }$ der ganzen Zahlen, mit summieren und multiplizieren. Unter dem Zusatz steht ${displaystyle mathbb {Z} }$ ein abelsche Gruppe und bezüglich der Multiplikation bilden die ganzen Zahlen ein Multiplikativ monoid mit 1 wenn Einheitselement. Die Multiplikation ist verteilend über die Ergänzung. Beide Operationen, Addition und Multiplikation, sind miteinander verflochten.

Definition

Ein Ring ${ Anzeigestil (R, , imes)}$ ist definiert als a nicht leer Sammlung ${Anzeigestil R}$, bei denen zwei Operationen ${Anzeigestil}$ und ${displaystyle imes }$ sind definiert: a Zusatz und ein Multiplikation, so dass ${Anzeigestil R}$ unter dem Zusatz eins abelsche Gruppe ist und unter der Multiplikation ist a Halbgruppe. Außerdem ist die Multiplikation beides links- wenn rechtsverteilend über die Ergänzung.

Normalerweise schreibt man die Addition der Elemente auf ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ wenn ${Anzeigestil a b}$. Das Produkt (die 'Multiplikation') ist da ${Anzeigestil a imes b}$, aber normalerweise ${displaystyle acdot b}$ oder kurz ${displaystyle ab}$ für das Produkt geschrieben.

Einige Autoren verlangen zusätzlich, dass eine vermenigvuldig Einheitselement ist. Andere sprechen in diesem Fall von a einheitlicher Ring.

Es ist im Allgemeinen nicht erforderlich, dass jedes Element eine Umkehrung der Multiplikation hat.

Bemerkungen

• Einige Autoren fügen die zusätzliche Anforderung hinzu, dass das null-Element nicht auch ein unit-Element ist. Davon ausgenommen ist nur ein Ring: der trivialer Ring oder Nullring, der nur ein einziges Element hat.
• Wird die Forderung der Existenz der Inversen für die Addition weggelassen, spricht man von a halber Ring.

Zweites Beispiel

Die Sammlung ${displaystyle mathbb {Z}_{4}}$, bestehend aus den Zahlen 0, 1, 2, 3, mit den Operationen Addition und Multiplikation, beide modular 4, ist ein Ring. Im angrenzenden Cayley-Tische sind die additive Struktur und die multiplikative Struktur von ${displaystyle mathbb {Z}_{4}}$ Aussicht.

Es ist nachweisbar, dass ${displaystyle mathbb {Z}_{4}}$ unter diesen Operationen ist ein Ring. Das kann man zunächst anhand der linken Tabelle zeigen ${displaystyle mathbb {Z}_{4}}$ wird unter Addition geschlossen (ein Ergebnis ist entweder 0, 1, 2 oder 3). Die Assoziativität der Addition in ${displaystyle mathbb {Z}_{4}}$ folgt aus der Assoziativität der Addition in der Menge aller ganzen Zahlen. Die additive Identität ist 0, wie man anhand der linken Tabelle überprüfen kann. Mit jedem der Elemente ${Anzeigestil x}$ gibt es ein gegenteil, nämlich ${Anzeigestil 4-x}$, wie in der Summentabelle zu sehen ist. Deshalb ${displaystyle mathbb {Z}_{4}}$ unter dem Zusatz eins abelsche Gruppe. ${displaystyle mathbb {Z} _{4}=C_{4}}$ ist ein zyklische Gruppe.

${displaystyle mathbb {Z}_{4}}$ ist auch unter der Multiplikation abgeschlossen, wie aus der rechten Tabelle ersichtlich: ein Ergebnis ist entweder 0, 1, 2 oder 3. Die Assoziativität der Multiplikation in ${displaystyle mathbb {Z} }$₄ folgt aus der Assoziativität der Multiplikation für ganze Zahlen. Die multiplikative Identität, das Einheitselement, ist 1, wie überprüft werden kann. Deshalb ${displaystyle mathbb {Z}_{4}}$ unter Multiplikation eins monoid mit Einheitselement.

Die Distributivität der beiden Operationen übereinander folgt aus der Distributivität von Addition über Multiplikation (und umgekehrt) für die ganzen Zahlen.

Daher bildet diese Menge mit Addition und Multiplikation tatsächlich einen Ring.

Merkmale dieses Rings

Wenn das Produkt zweier ganzer Zahlen ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ gleich 0, dann ${Anzeigestil x=0}$ oder ${Anzeigestil y=0}$. Diese Eigenschaft gilt nicht für den Ring ${displaystyle (mathbb {Z} _{4}, ,,cdot ,)}$; zum Beispiel ist ${Displaystil 2cdot 2=0}$. Die Zahl 2 ist also a Nullteiler im Ring ${displaystyle mathbb {Z}_{4}}$, übrigens der einzige Nullteiler.

Drittes Beispiel: der triviale Ring

Das Singleton {0} mit Addition und Multiplikation:

0 0 = 0

und

0 × 0 = 0

bildet einen Ring, der als bekannt ist trivialer Ring oder Nullring.

Grundlegendes Konzept

Teilungsring

Informell gesprochen, a Teilungsring eines Rings einen anderen Ring, der „die gleichen“ Operationen verwendet und der ebenfalls Teil dieses anderen Rings ist.

Formeller ist das Teilmenge${Anzeigestil S}$ der Sammlung ${Anzeigestil R}$ ein Teilungsring des Rings ${displaystyle(R, ,,cdot,)}$, wenn ${Anzeigestil S}$ ein Ring unterliegt den gleichen Operationen wie im Ring ${displaystyle(R, ,,cdot,)}$. Der Teilungsring wird geschrieben als ${displaystyle(S, ,,cdot,)}$, mit den gleichen Symbolen für die Operationen wie in ${displaystyle(R, ,,cdot,)}$, obwohl es formal die Beschränkungen bis um ${displaystyle Simes S}$ stammen aus den Originalbearbeitungen.

wenn ${displaystyle(R, ,,cdot,)}$ ein Ring ist mit Einheitselement dann ist ${Anzeigestil S}$ ein Teilungsring mit Einheitselement wenn ${Anzeigestil S}$ ist ein Teilungsring von ${displaystyle(R, ,,cdot,)}$ und beide haben das gleiche Einheitselement.

wenn ${Anzeigestil S}$ ist ein Teilungsring von ${Anzeigestil R}$ und die Teilmenge ${Anzeigestil D}$ von ${Anzeigestil S}$ ist auch ein Teilungsring von ${displaystyle(R, ,,cdot,)}$, dann ist ${Anzeigestil D}$ auch ein Teilungsring von ${Anzeigestil S}$.

Ringhomomorphismus

EIN Homomorphismus eines Rings ${Anzeigestil (R, _{R},,cdot ,)}$ zu einem Ring ${Anzeigestil (S, _{S},*)}$ ist ein Funktion${displaystyle f:R oder S}$ die mit den Ringoperationen kommutiert. Das heißt für alle ${displaystyle a,bin R}$ gilt:

${Anzeigestil f(a_{R}b)=f(a) _{S}f(b)}$

und

${Anzeigestil f(acdot b)=f(a)*f(b)}$

Außerdem muss die Funktion das Einheitselement angeben ${displaystyle e_{R}}$ von ${Anzeigestil (R, _{R},,cdot ,)}$ dem Einheitselement zuordnen ${displaystyle e_{S}}$ von ${Anzeigestil (S, _{S},*)}$.

Zum Beispiel die Funktion, die eine ganze Zahl takes ${Anzeigestil x}$ auf ihrer ruhe modular 4 (eine Zahl in {0, 1, 2, 3}), ist a Homomorphismus des Rings ${displaystyle mathbb {Z} }$ zum Ring ${displaystyle mathbb {Z}_{4}}$.

wenn ${displaystyle f}$ ist ein Ringhomomorphismus von ${Anzeigestil (R, _{R},,cdot ,)}$ zu ${Anzeigestil (S, _{S},*)}$, ist das Original des Nullelements ${displaystyle 0_{S}}$ von ${Anzeigestil S}$ ein Teilungsring von ${Anzeigestil (R, _{R},,cdot ,)}$.

Ein Ringhomomorphismus heißt a Isomorphismus ist, wenn es in der . ist Kategorie der Ringe beides Epimorphismus wie ein Monomorphismus ist.

Geschichte

Ein Porträt von Richard Dedekind: der Gründer der Ringtheorie.

sehen Ringtheorie#Geschichte für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Das Studium der Ringe war ein Zweig der Theorie der Polynomringe und die Theorie von algebraische ganze Zahlen. Darüber hinaus ist das Erscheinungsbild von hyperkomplexe Zahlen, ab der Mitte des neunzehnten Jahrhunderts, führte zum Primat der Felder in dem mathematische Analyse wurde abgeschwächt.

Richard Dedekind (Bild rechts) führte das Konzept eines Rings ein. Zahlring wurde 1892 von . gegründet David Hilbert erfunden.^[5] Laut Harvey Cohn verwendete Hilbert den Begriff für einen bestimmten Ring, der die Eigenschaft hatte, auf einem Element seiner selbst "direkt zurück zu kreisen".^[6]

Die erste axiomatische Definition eines Rings war gegeben durch Adolf Fraenkel in einem Aufsatz in der Zeitschrift für die reine und angewandte Mathematik (A. L. Crelle), vol. 145, 1914.^[3] Im Jahr 1921 gab Emmy Noether die erste axiomatische Grundlage der Theorie der Kommutative Ringe in ihrem monumentalen Artikel Ideale Theorie in Ringen (Ideale Theorie in Ringen).^[3]

Beispiele für Ringe

• das ganze Zahlen${displaystyle mathbb {Z} }$ mit der üblichen Addition und Multiplikation
• für eine positive ganze Zahl ${displaystyle n}$ der Ring ${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} }$ von ganzen Zahlen modular${displaystyle n}$
• Das ganze Zahlen von Gauß und der Eisenstein-Zahlen einen Ring bilden. Das sind Zahlen in komplexe Ebene.
• für einen bestimmten Ring ${Anzeigestil R}$ der Ring von Polynome, entweder in einem Variable${Displaystil R[X]}$, oder in einer festen, möglicherweise unendlichen Anzahl von Variablen
• für einen bestimmten Ring ${Anzeigestil R}$ und eine gegebene natürliche Zahl ${displaystyle n}$ der Ring ${Displaystil M_{n}(R)}$quadratische Matrizen von ${Anzeigestil n imes n}$ Über ${Anzeigestil R}$ mit Addition und Multiplikation von Matrizen nach den Regeln der Lineare Algebra.
• Das trivialer Ring {0} hat nur ein Element, das gleichzeitig Zusatzstoff als multiplikative Identität. Dieser Ring wird manchmal explizit in der Definition ausgeschlossen.
• das rational${displaystyle mathbb {Q} }$, das Real${displaystyle mathbb {R} }$ und der komplexe Zahlen${displaystyle mathbb {C} }$ mit der üblichen Addition und Multiplikation. Das sind auch Felder B oder Stellen NL.
• Jeder Körper/jedes Feld ist per Definition a Kommutativer Ring.
• ${displaystyle C[0,1]}$, die Menge aller kontinuierliche Funktionen vom Intervall [0,1] zu den reellen Zahlen ${displaystyle mathbb {R} }$, mit Punktaddition und -multiplikation.
• wenn ${Anzeigestil G}$ ein abelsche Gruppe ist, bilden die Gruppenhomomorphismen von ${Anzeigestil G}$ ein Ring, der endomorphe Ring ${displaystyle mathrm {End} (G)}$ von ${Anzeigestil G}$. Die Operationen in diesem Ring sind Addition und Komposition von Endomorphismen.
• wenn ${Anzeigestil G}$ ein Gruppe ist und ${Anzeigestil R}$ ein Ring, ist a Gruppenring von ${Anzeigestil G}$ Über ${Anzeigestil R}$ ein kostenloses Modul Über ${Anzeigestil R}$ mit ${Anzeigestil G}$ als Basis. Die Operation 'Multiplikation' wird durch die Regeln definiert, dass die Elemente von ${Anzeigestil G}$kommutativ sein mit den Elementen von ${Anzeigestil R}$ und miteinander wie in der Gruppe ${Anzeigestil G}$ multipliziert werden kann.

Sonderringe

Ist die Multiplikation auch kommutativ, so ist ${displaystyle a imes b=b imes a}$, man spricht von a Kommutativer Ring. Ein Ring mit a Einheitselement denn die Multiplikation heißt a einheitlicher Ring. Ein unitärer Ring steht unter der Multiplikation a monoid. Einige Mathematiker glauben, dass ein Ring (per Definition) ein Einheitselement haben sollte. Die Menge der geraden ganzen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation ist ein Beispiel für einen kommutativen Ring ohne Einheitselement.

In einem Ring ist es möglich, dass das Produkt zweier Elemente ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ beide ungleich 0, aber gleich 0. Solche Elemente werden Nullteiler erwähnt.

Ein kommutativer Ring ohne Nullteiler heißt a Integritätsdomäne.

EIN Körper ist ein Spezialfall eines kommutativen Rings ohne Nullteiler.

EIN Ideal ist eine additive Untergruppe eines Rings, die stabil bleibt, wenn sie mit beliebigen Elementen des Rings multipliziert wird. Je nachdem, ob bestimmte Eigenschaften der Ideale gelten oder nicht, werden verschiedene Arten von Ringen identifiziert, darunter:

• idealer Hauptring
• Ideale Hauptdomäne
• Noetherischer Ring
• Artinischer Ring

Siehe auch

• Kategorie der Ringe
• Algebra über einem kommutativen Ring
• Nicht-assoziativer Ring
• Algebraische Struktur
• Chinesischer Restsatz
• halber Ring
• Gruppe
• Gruppentheorie

Sonderformen von Ringen:

• Boolescher Ring
• Kommutativer Ring
• Bestellter Ring
• noetherisch- und Artinische Ringe
• Dedekind-Ring
• Teilungsring (schiefes Feld)
• Körper (Ned) / Feld (Be)
• Integritätsdomäne (ICH WÜRDE)
• Lokaler Ring
• Ideale Hauptdomäne (HID)
• Reduzierter Ring
• Regulärer Ring
• Eindeutiger Faktorisierungsbereich (UFD)
• Bewertungsring und diskreter Bewertungsring

Fußnoten