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der Klassiker möbius-Funktion${Anzeigestil mu}$ ist ein wichtiges multiplikative Funktion im Zahlentheorie und Kombinatorik. Die Funktion ist nach dem benannt DeutscheMathematikerAugust Ferdinand Möbius (1790-1868), von wem dies Funktion wurde eingeführt in 1831.

Definition

Die möbius-Funktion ${displaystyle mu(n)}$ ist für alle streng positiv definiert natürliche Zahlen${displaystyle n}$ und kann Werte in {−1, 0, 1} annehmen, abhängig von der Faktorisierung von ${displaystyle n}$ im Primfaktoren. Die Funktion ist wie folgt definiert:

• ${displaystyle mu(n)=1}$ wenn ${displaystyle n}$ ein positives quadratfreie ganze Zahl ist mit a Ein bisschen Anzahl verschiedener Primfaktoren.
• ${displaystyle mu(n)=-1}$ wenn ${displaystyle n}$ ist eine positive quadratfreie ganze Zahl mit a seltsam Anzahl verschiedener Primfaktoren.
• ${Anzeigestil mu(n)=0}$ wenn ${displaystyle n}$ ist nicht quadriert.

Dies impliziert, dass

• ${displaystyle mu(1)=1}$ (0 Primfaktoren, 1 selbst zählt nicht)
• ${displaystyle mu(2)=-1}$ (1 Primfaktor: 2)
• ${displaystyle mu(3)=-1}$ (1 Primfaktor: 3)
• ${Anzeigestil mu(4)=0}$ (Quadrat)
• ${Anzeigestil mu(5)=-1}$ (1 Primfaktor: 5)
• ${displaystyle mu(6)=1}$ (2 Primfaktoren: 2 und 3)
• ${displaystyle mu(7)=-1}$ (1 Primfaktor: 7)
• ${Anzeigestil mu(8)=0}$ (2x im Quadrat, 2x4)
• ${Anzeigestil mu(9)=0}$ (Quadrat)

Die ersten 50 Funktionswerte sind in dieser Grafik dargestellt: