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Priemfactor

EIN Primfaktor von a natürliche Zahlnein ist ein Primzahl Verursachen nein kann werden geteilt ohne ein sich ausruhen behalten.

Faktorisierung

EIN Zerlegung in Primfaktoren (ebenfalls: Faktorisierung oder nur Auflösung) einer natürlichen Zahl nein ist ein Multi-Set (hier geschrieben als {(...)}) von Primzahlen, deren Produkt Wetter nein ist. Zum Beispiel ist {(2,5)} ein Faktor von 10, weil 2 und 5 Primzahlen sind und 2×5=10, und {(3,3,11)} ist ein Faktor von 99, weil 3 und 11 sind Primzahlen und 3×3×11=99.

Jedes Element einer Auflösung von nein ist ein Primfaktor von nein, weil es ein Teiler von ist nein und es ist eine Primzahl.

Faktorisierung ist keine gewöhnliche Sammlung aber ein Multi-Set, da ein Primfaktor oft mehrfach verwendet werden muss. Zum Beispiel: {(2,3,3)} ist eine Faktorisierung der Zahl 18, weil 2×3×3=18; die Zahl 3 wird zweimal verwendet.

Das Hauptsatz der Arithmetik sagt, dass jede natürliche Zahl größer als 1 genau eine Primfaktorzerlegung hat.

Unterteilen Sie in eine Reihe von Fällen:

  • 0 und 1 haben keine Faktorisierung, da 0 und 1 nicht als Produkt von Primzahlen geschrieben werden können.
  • Die Faktorisierung einer Primzahl p ist die Mehrfachmenge {(p)}.
  • Jede andere natürliche Zahl nein hat mindestens einen Primfaktor, der kleiner oder gleich dem Quadratwurzel von nein.

Eine Auflösung finden

Im Gegensatz zur Multiplikation ist die Faktorisierung eine Operation, die potenziell viel Rechenzeit in Anspruch nehmen kann. Multiplizieren von zwei Primzahlen von 100 Zahlen jeder dauert nur Millisekunden, aber der schnellste bekannte Algorithmen (Mitte 2003) Das Faktorisieren von Zahlen mit 200 Stellen erfordert viele Jahre Rechenzeit. Hier sind einige kryptografisch Techniken basierend (einschließlich der RSAVerschlüsselung).

sehen Hauptsatz_of_arithmetic#Beweis für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Es kann bewiesen werden, dass jede Zahl in Primfaktoren zerlegt werden kann. Hier folgt nur der Beweis für die Existenz dieser Auflösung und nicht für die EinzigartigkeitDie Faktorisierung einer Primzahl selbst ist offensichtlich genau gleich dieser Primzahl. Nehmen wir nun an, eine natürliche Zahl sei keine Primzahl. Diese natürliche Zahl ist daher durch eine andere natürliche Zahl (die nicht gleich sich selbst ist) teilbar. Die natürliche Zahl kann also geschrieben werden als m×n (mit ich und nein beide natürlichen Zahlen). Durch Induktion folgt nun ich und/oder nein kann wieder als Produkt zweier anderer natürlicher Zahlen geschrieben werden (und wenn das nicht möglich ist, ist ich und/oder nein eine Primzahl). Dies kann solange wiederholt werden, bis nur noch Primzahlen übrig bleiben, also kann jede natürliche Zahl als Produkt von Primfaktoren geschrieben werden.

Siehe auch