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In dem Kategorientheorie ist ein Nullmorphismus eine besondere Art von "trivial" Morphismus. Annehmen, dass C ein Kategorie ist, und das für zwei ObjekteX und Ja im C ein Morphismus 0_XY : X → Ja gilt mit folgendem Eigentum: für zwei beliebige Morphismen f : R → so und G : SIE → V wir erhalten unten Kommutatives Diagramm:

Dann werden die Morphismen 0_XY ein Familie der Morphismen im C erwähnt.

Unter der Annahme, dass f oder G im Diagramm oben ist der Identitätsmorphismus, wir sehen, dass die Zusammensetzung jedes Morphismus mit einem Nullmorphismus zu einem Nullmorphismus führt. Wenn eine Kategorie außerdem eine Familie von Nullmorphismen besitzt, dann ist diese Familie eindeutig.

Wenn eine Kategorie Nullmorphismen hat, kann man die Begriffe Ader und Koker in dieser Kategorie definieren.

Ein Morphismus ist dann und nur dann ein Nullmorphismus, wenn es Konstante und Konstante ist.

Beispiele

• In dem Kategorie von Gruppen oder Kategorie der Module ist ein Nullmorphismus a Homomorphismusf : G → huh, Welche G vollständig abgebildet auf dem Identitätselement von huh.
• Nehmen wir allgemeiner an, dass C ist eine beliebige Kategorie mit a Nullobjekt 0. Dann existiert für alle Objekte X und Ja eine einzigartige Folge von Morphismen

0_XY : X → 0 → Ja

Die so konstruierte Familie aller Morphismen ist eine Familie von Nullmorphismen für C.

• wenn C ein Prä-Additiv-Kategorie dann ist jede Morphismusmenge Mor(X,Ja) ein abelsche Gruppe und hat daher ein Nullelement. Diese Nullelemente bilden eine Familie von Nullmorphismen für C.
• Die Kategorie einstellen (Kollektionen mit Funktionen als Morphismen) hat Nein Nullmorphismen; Auch die Kategorie oben (topologische Räume, mit kontinuierliche Funktionen) hat keine Nullmorphismen. Die Kategorie der Sammlungen mit Teilfunktionen Wenn jedoch Morphismen ein Nullobjekt haben (de leere Sammlung) und damit eine Familie von Nullmorphismen (die Teilfunktionen im leeren Bereich). Ebenso kann man zu jedem Objekt von any hinzufügen oben füge einen auffälligen isolierten Punkt ø (den "Nullpunkt") hinzu und erweitere die Menge der Morphismen, bis sie alle stetigen Teilfunktionen enthält, d.h. stetige Abbildungen

${displaystyle f:Xcup {emptyset}ightarrow Ycup {emptyset}}$,

so dass f(O) = ø. (Beachten Sie, dass {Ø} eine isolierte offene Umgebung ist, die zum Rest komplementär ist Ja der Kodomäne von f. Schon seit Ja auch geöffnet in ${displaystyle Ycup {emptyset }}$ ist, muss ${displaystyle f^{-1}({emptyset })}$ ab (Ø)

plus null oder mehr isolierte Komponenten von X existieren.) Die resultierende Kategorie hat das Nullobjekt {ø} und damit eine Menge von Nullmorphismen

${displaystyle 0_{XY}:Xcup {emptyset}ightarrow {emptyset}subsetq Ycup {emptyset}}$.