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Nicht zu verwechseln mit Homöomorphismus, ein Konzept aus der Topologie

Im Allgemeinen meint man Homomorphismus ein Bild von a Sammlung mit Struktur in einem anderen Sammlung mit Struktur die mit den Strukturen kompatibel ist, d. h. die Struktur der Domain überträgt sich in die Struktur der codomain. Zum Beispiel in Strukturen mit einer binären Operation: if ${displaystyle f}$ ist ein Homomorphismus von ${Anzeigestil V}$ mit Struktur ${Anzeigestil S}$ im ${Anzeigestil W}$ mit Struktur ${Anzeigestil T}$ gilt für alle ${Anzeigestil x,yin V}$:

${Anzeigestil f(S(x,y))=T(f(x),f(y))}$

Für einen Homomorphismus ${displaystyle h}$ zwischen zwei Gruppen ${Anzeigestil G}$ und ${Anzeigestil G'}$ jeweils mit Gruppenbetrieb ${displaystyle cdot }$ und ${Anzeigestil *}$ gilt zum Beispiel:

${displaystyle h(g_{1}cdot g_{2})=h(g_{1})*h(g_{2})}$

Beispiele

Das Logarithmus (${displaystyle f}$) ist ein Homomorphismus der positivreale Nummern mit der Struktur de Multiplikation (${Anzeigestil S}$) in den reellen Zahlen mit der Struktur de Zusatz (${Anzeigestil T}$). Schließlich gilt:

${displaystyle log(xcdot y)=log x log y}$

Dies ist die Grundlage für die Dezibelskalen und der berechnen mit Rechenschieber oder Logarithmustabelle: multiplizieren kann umgewandelt werden in summieren.

Ein Bild zwischen zwei Gruppen${displaystyle fcolon G oder G'}$ ist ein Homomorphismus wie für jedes Paar Elemente${Anzeigestil a, b}$ von ${Anzeigestil G}$ gilt:

${Anzeigestil f(ab)=f(a)f(b)}$

Informelle Diskussion

Weil die abstrakte AlgebraKollektionen mit Betrieb die interessante Strukturen oder Eigenschaften auf diesem Set erzeugen, sind die interessantesten Funktionen der eine der Betriebbehalten. eine solche Funktionen werden als Homomorphismen bezeichnet.

Betrachten Sie zum Beispiel die natürliche Zahlen mit summieren als Operation. Eine Funktion, die eine Addition speichert, muss die folgende Eigenschaft haben: :${Anzeigestil f(a b)=f(a) f(b)}$

Die Funktion ${Anzeigestil f(x)=3x}$ ist beispielsweise ein solcher Homomorphismus, da

${Anzeigestil f(a b)=3(a b)=3a 3b=f(a) f(b)}$

Beachten Sie, dass dieser Homomorphismus de natürliche Zahlen an sich darstellt.

Homomorphismen müssen nicht zwischen Sammlungen abgebildet werden, die dieselben Operationen haben. Zum Beispiel gibt es betriebserhaltende Funktionen zwischen der Menge der reale Nummern mit der Operation Addition und die Menge der positiven reellen Zahlen mit der Operation Multiplikation. Eine Funktion, die hier eine Operation speichert, benötigt dann die Eigenschaft, dass: ${Anzeigestil f(a b)=f(a)cdot f(b)}$, da die Addition die Operation im ersten Satz und die Multiplikation die Operation im zweiten Satz ist. Angesichts der Gesetze der Potenzierung, erfüllt ${Anzeigestil f(x)=e^{x}}$ zu dieser Bedingung:

${Anzeigestil f(a b)=e^{a b}=e^{a}e^{b}=f(a)cdot f(b)}$

Eine besonders wichtige Eigenschaft von Homomorphismen ist, dass wenn a Identitätselement vorhanden ist, bleibt es immer erhalten. Dieses neutrale Element wird in sich selbst dargestellt. Beachten Sie, dass im ersten Beispiel ${Anzeigestil f(0)=0}$ und dass 0 dann die additive Identität ist. Im zweiten Beispiel, ${Anzeigestil f(0)=1}$, da hier 0 die additive Identität und 1 die multiplikative Identität ist.

Wenn wir mehrere Operationen auf einer Menge betrachten, müssen alle Operationen erhalten bleiben, damit eine Funktion als homomorph angesehen wird. Dieselbe Funktion kann zum Beispiel sein Gruppentheorie (Mengen mit einer einzigen Operation) sind homomorph, während die gleiche Funktion in der Ringtheorie (Mengen mit zwei verwandten Operationen) ist nicht homomorph, zum Beispiel weil diese Funktion die in der Ringtheorie untersuchte zusätzliche Operation nicht speichert.

Arten von Homomorphismen

• EIN Isomorphismus ist ein bijektiv Homomorphismus. Zwei Objekte heißen isomorph, wenn zwischen diesen beiden Objekten ein Isomorphismus besteht. Isomorphe Objekte sind strukturell nicht zu unterscheiden.

• EIN Epimorphismus ist ein surjektiv Homomorphismus.

• EIN Monomorphismus (auch als a . bezeichnet Erweiterung) ist ein injektiv Homomorphismus.

• EIN Endomorphismus ist ein Homomorphismus eines Objekts zu sich selbst.

• EIN Automorphismus ist ein Endomorphismus, der gleichzeitig auch ein Isomorphismus ist.

Die obigen Begriffe werden in ähnlicher Weise in der . verwendet Kategorientheorie verwendet, aber in der Kategorientheorie sind die Definitionen subtiler, siehe den Artikel über Morphismus für mehr Details.

Beachten Sie, dass im breiteren Kontext der strukturerhaltend Bilder, reicht es im Allgemeinen nicht aus, einen Isomorphismus als einen bijektiven Morphismus zu definieren. Es sollte auch verlangt werden, dass die invers ist ein Morphismus des gleichen Typs. In einer algebraischen Umgebung (zumindest im Kontext der universelle Algebra) ist diese zusätzliche Bedingung automatisch erfüllt.

Beziehungen zwischen den verschiedenen Arten von Homomorphismen.
H = Menge von Homomorphismen, M = Menge von Monomorphismen,
P = Menge von ePimorphismen, S = Menge von iSomorphismen,
N = Menge von Endomorphismen, A = Menge von Automorphismen.
Beachten Sie, dass: (M P) = S, (S ∩ N) = A, (M ∩ N) A und (P ∩ N) A nur Homomorphismen unendlicher algebraischer Strukturen zu sich selbst enthalten.

Siehe auch

• Automorphismus
• Endomorphismus
• Epimorphismus
• Homöomorphismus
• Isomorphismus
• Monomorphismus
• Morphismus