WikiDer > Основной пакет

Principal bundle

В математика, а основной пакет[1][2][3][4] представляет собой математический объект, который формализует некоторые существенные особенности Декартово произведение Икс × грамм пространства Икс с группа грамм. Как и в случае с декартовым произведением, основной пучок п оснащен

  1. An действие из грамм на п, аналогично (Икс, грамм)час = (Икс, gh) для пространство продукта.
  2. Проекция на Икс. Для товарного пространства это просто проекция на первый фактор, (Икс,грамм) ↦ Икс.

В отличие от пространства продукта, у основных пакетов отсутствует предпочтительный выбор поперечного сечения идентичности; у них нет предпочтительного аналога (Икс,е). Точно так же обычно нет проекции на грамм обобщая проекцию на второй фактор, Икс × граммграмм который существует для декартова произведения. У них также может быть сложная топология что не позволяет реализовать их как пространство продукта, даже если был сделан ряд произвольных выборов, чтобы попытаться определить такую ​​структуру, определяя ее на более мелких частях пространства.

Типичным примером основного пакета является комплект кадров F (E) из векторный набор E, который состоит из всех заказанных базы векторного пространства, прикрепленного к каждой точке. Группа грамм в этом случае общая линейная группа, который действует справа обычным способом: к изменения основы. Поскольку нет естественного способа выбрать упорядоченный базис векторного пространства, в расслоении фреймов отсутствует канонический выбор единичного сечения.

Основные пакеты имеют важные приложения в топология и дифференциальная геометрия и математический калибровочная теория. Они также нашли применение в физика где они составляют часть фундаментальной основы физического калибровочные теории.

Формальное определение

Директор грамм-бандл, где грамм обозначает любой топологическая группа, это пучок волокон π:пИкс вместе с непрерывный правильное действие п × граммп такой, что грамм сохраняет волокна п (т.е. если у ∈ PИкс тогда yg ∈ PИкс для всех граммграмм) и действует свободно и переходно (т.е. регулярно) на них таким образом, чтобы для каждого Икс∈X и у∈PИкс, карта грамм → PИкс отправка грамм к yg является гомеоморфизмом. В частности, каждый слой расслоения гомеоморфен группе грамм сам. Часто требуется базовое пространство Икс быть Хаусдорф и возможно паракомпакт.

Поскольку действие группы сохраняет слои π:пИкс и действует транзитивно, отсюда следует, что орбиты из грамм-действуют именно эти волокна и пространство орбиты п/грамм является гомеоморфный в базовое пространство Икс. Поскольку действие свободное, волокна имеют структуру грамм-торсоры. А грамм-торсор - это пространство, гомеоморфное грамм но ему не хватает групповой структуры, поскольку нет предпочтительного выбора элемент идентичности.

Эквивалентное определение принципала грамм-бандл как грамм-пучок π:пИкс с волокном грамм где структурная группа действует на слой левым умножением. Поскольку правое умножение на грамм на слое коммутирует с действием структурной группы, существует инвариантное понятие правого умножения на грамм на п. Волокна π тогда стань правым грамм-торсоры для этого действия.

Приведенные выше определения относятся к произвольным топологическим пространствам. Также можно определить основные грамм-связки в категория из гладкие многообразия. Здесь π:пИкс требуется быть гладкая карта между гладкими коллекторами, грамм требуется быть Группа Ли, и соответствующее действие на п должен быть гладким.

Примеры

действует на волокна п через монодромия действие. В частности, универсальный чехол из Икс является главным расслоением над Икс со структурной группой π1(Икс) (поскольку универсальная крышка подключается просто и, следовательно, π1(C) тривиально).
  • Позволять грамм - группа Ли и пусть ЧАС - замкнутая подгруппа (не обязательно нормальный). потом грамм является основным ЧАС-бандер (слева) пространство смежности грамм/ЧАС. Здесь действие ЧАС на грамм это правильное умножение. Слои являются левыми смежными классами ЧАС (в этом случае имеется выделенный слой, содержащий единицу, который естественно изоморфен ЧАС).
  • Рассмотрим проекцию π:S1S1 данный zz2. Этот главный 2-бандл - это связанный пакет из Лента Мебиуса. Помимо тривиального расслоения, это единственный главный 2- связать S1.
  • Проективные пространства приведем еще несколько интересных примеров основных связок. Напомним, что п-сфера Sп является двукратным накрывающим пространством реальное проективное пространство ℝℙп. Естественное действие О (1) на Sп придает ему структуру принципала О (1)- связать ℝℙп. Так же, S2п+1 является основным U (1)- связать сложное проективное пространство ℂℙп и S4п+3 является основным Sp (1)- связать кватернионное проективное пространство ℍℙп. Тогда у нас есть серия главных расслоений для каждого положительного п:
Здесь S(V) обозначает единичную сферу в V (снабженный евклидовой метрикой). Для всех этих примеров п = 1 дела дают так называемые Связки хопфа.

Основные свойства

Тривиализации и сечения

Один из наиболее важных вопросов, касающихся любого пучка волокон, заключается в том, является ли он банальный, т.е. изоморфна набору продуктов. Для главных расслоений есть удобная характеристика тривиальности:

Предложение. Главное расслоение тривиально тогда и только тогда, когда оно допускает глобальную поперечное сечение.

То же самое не относится к другим пучкам волокон. Например, Векторные пучки всегда имеют нулевое сечение, независимо от того, тривиальны они или нет, и связки сфер может допускать множество глобальных секций, не будучи тривиальным.

То же самое относится и к локальной тривиализации главных расслоений. Позволять π : пИкс быть главным грамм-пучок. An открытый набор U в Икс допускает локальную тривиализацию тогда и только тогда, когда существует локальное сечение на U. Учитывая локальную тривиализацию

можно определить связанный локальный раздел

куда е это личность в грамм. И наоборот, учитывая раздел s один определяет тривиализацию Φ к

Простая транзитивность грамм действие на волокна п гарантирует, что эта карта биекция, это также гомеоморфизм. Локальные тривиализации, определяемые локальными секциями: грамм-эквивариантный в следующем смысле. Если мы напишем

в виде

тогда карта

удовлетворяет

Следовательно, эквивариантные тривиализации сохраняют грамм-торсорное строение волокон. С точки зрения связанного местного раздела s карта φ дан кем-то

Локальная версия теоремы о сечении затем утверждает, что эквивариантные локальные тривиализации главного расслоения находятся во взаимно однозначном соответствии с локальными сечениями.

Учитывая эквивариантную локальную тривиализацию ({Uя}, {Φя}) из п, у нас есть локальные разделы sя на каждой Uя. На перекрытиях они должны быть связаны действием структурной группы грамм. На самом деле связь обеспечивается функции перехода

Для любого ИксUяUj у нас есть

Характеризация гладких главных расслоений

Если π : пИкс гладкий принципал грамм-bundle тогда грамм действует свободно и правильно на п так что орбитальное пространство п/грамм является диффеоморфный в базовое пространство Икс. Оказывается, эти свойства полностью характеризуют гладкие главные расслоения. То есть, если п гладкое многообразие, грамм группа Ли и μ : п × граммп плавное, свободное и правильное действие, тогда

  • п/грамм гладкое многообразие,
  • естественная проекция π : пп/грамм гладкий погружение, и
  • п гладкий принципал грамм- связать п/грамм.

Использование понятия

Сокращение структурной группы

Учитывая подгруппу ЧАС из грамм можно рассматривать комплект слои которого гомеоморфны пространство смежности . Если новый пакет допускает глобальную секцию, то говорят, что секция является сокращение структурной группы от грамм к ЧАС. Причина этого названия в том, что (послойно) инверсия значений этого раздела формирует подгруппу п это главный ЧАС-пучок. Если ЧАС тождество, то часть п сам по себе является приведением структурной группы к тождеству. Редукций структурной группы вообще не существует.

Многие топологические вопросы о структуре многообразия или строении расслоений над ним, связанных с главным грамм-бандл можно перефразировать как вопросы о допустимости сокращения структурной группы (из грамм к ЧАС). Например:

  • А 2п-мерное вещественное многообразие допускает почти сложная структура если комплект кадров на многообразии, слои которого , сводится к группе .
  • An п-мерное вещественное многообразие допускает k-плоскость, если пакет рам можно свести к структурной группе .
  • Многообразие ориентируемый тогда и только тогда, когда его связку кадров можно свести к специальная ортогональная группа, .
  • Многообразие имеет спиновая структура тогда и только тогда, когда его набор кадров может быть дополнительно сокращен с к в Спиновая группа, который соответствует как двойное покрытие.

Также обратите внимание: п-мерное многообразие допускает п векторные поля, которые линейно независимы в каждой точке тогда и только тогда, когда ее комплект кадров допускает глобальный раздел. В этом случае многообразие называется распараллеливаемый.

Связанные векторные пучки и фреймы

Если п является основным грамм-бандл и V это линейное представление из грамм, то можно построить векторное расслоение с волокном V, как частное от произведения п×V диагональным действием грамм. Это частный случай связанный пакет строительство и E называется связанный векторный пучок к п. Если представление грамм на V является верный, так что грамм является подгруппой общей линейной группы GL (V), тогда E это грамм-бандл и п обеспечивает сокращение структурной группы кадрового пучка E из GL (V) к грамм. В этом смысле главные расслоения дают абстрактную формулировку теории расслоений реперов.

Классификация основных связок

Любая топологическая группа грамм признает классификация пространства BG: частное по действию грамм некоторых слабо сжимаемый Космос НАПРИМЕР, т.е. топологическое пространство с исчезающими гомотопические группы. Классифицирующее пространство обладает тем свойством, что любой грамм главный пучок над паракомпакт многообразие B изоморфен откат основного пакета НАПРИМЕРBG.[5] На самом деле, верно больше, поскольку множество классов изоморфизма главных грамм связки над основанием B отождествляется с множеством гомотопических классов отображений BBG.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон. Принстон: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6. стр. 35
  2. ^ Хусемоллер, Дейл (1994). Пучки волокна (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-94087-8. стр.42
  3. ^ Шарп, Р. У. (1997). Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Клейна. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9. стр. 37
  4. ^ Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5. стр. 370
  5. ^ Сташефф, Джеймс Д. (1971) "ЧАС-пространства и классифицирующие пространства: основы и последние разработки », Алгебраическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970), Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 247–272, Теорема 2

Источники