WikiDer > Пучок волокна

Fiber bundle

Цилиндрический расческа показывая интуицию, стоящую за термином пучок волокон. Эта расческа похожа на пучок волокон, в котором базовое пространство представляет собой цилиндр, а волокна (щетина) являются отрезками прямых. Отображение

{ displaystyle pi двоеточие E to B}

взял бы точку на любой щетине и сопоставил бы ее с корнем на цилиндре.

В математика, и особенно топология, а пучок волокон (или в Британский английский, пучок волокон) это Космос то есть локально а пространство продукта, но глобально может быть другой топологическая структура. В частности, сходство между пространством ${ displaystyle E}$ и пространство продукта ${ displaystyle B times F}$ определяется с помощью непрерывный сюръективный карта

{ displaystyle pi двоеточие E to B}

что в небольших регионах E ведет себя так же, как проекция из соответствующих областей ${ displaystyle B times F}$ к ${ displaystyle B}$ . Карта ${ displaystyle pi}$ , называется проекция или же погружение комплекта, рассматривается как часть его структуры. Космос ${ displaystyle E}$ известен как общая площадь пучка волокон, ${ displaystyle B}$ как базовое пространство, и ${ displaystyle F}$ в волокно.

в банальный дело, ${ displaystyle E}$ просто ${ displaystyle B times F}$ , а отображение π - это просто проекция из пространства произведения на первый фактор. Это называется тривиальная связка. Примеры нетривиальных расслоений включают: Лента Мебиуса и Бутылка Клейна, а также нетривиальные покрытия пространства. Пучки волокон, такие как касательный пучок из многообразие и более общие векторные пакеты играть важную роль в дифференциальная геометрия и дифференциальная топология, как и основные связки.

Отображения между тотальными пространствами расслоений, которые «коммутируют» с отображениями проекций, известны как связка карт, а класс расслоений образует категория относительно таких отображений. Связка из самого базового пространства (с тождественным отображением в качестве проекции) на ${ displaystyle E}$ называется раздел из ${ displaystyle E}$ . Пучки волокон могут быть специализированы несколькими способами, наиболее распространенный из которых требует, чтобы переходы между локальными тривиальными участками лежали в определенных топологическая группа, известный как структурная группа, действуя на волокно ${ displaystyle F}$ .

История

В топология, условия волокно (Немецкий: Faser) и волоконное пространство (gefaserter Raum) впервые появилась в статье Герберт Зайферт в 1933 г.,^[1]^[2] но его определения ограничены очень частным случаем. Однако главное отличие от современной концепции волоконного пространства заключалось в том, что для Зайферта то, что сейчас называется базовое пространство (топологическое пространство) расслоенного (топологического) пространства E не был частью структуры, но производился от нее как факторпространство E. Первое определение волоконное пространство был дан Хасслер Уитни в 1935 г. ^[3] под именем сфера, но в 1940 году Уитни сменила название на связка сфер.^[4]

Теория расслоенных пространств, из которых векторные пакеты, основные связки, топологический расслоения и расслоенные многообразия являются частным случаем, приписываемым Зейферту, Хайнц Хопф, Жак Фельдбау,^[5] Уитни, Норман Стинрод, Чарльз Эресманн,^[6]^[7]^[8] Жан-Пьер Серр,^[9] и другие.

Пучки волокон стали самостоятельным объектом исследования в период 1935–1940 гг. Первое общее определение появилось в работах Уитни.^[10]

Уитни пришел к общему определению расслоения на основе изучения более конкретного понятия расслоения. связка сфер,^[11] то есть расслоение, слой которого является сферой произвольной размерности.^[12]

Формальное определение

Пучок волокон - это структура ${ Displaystyle (Е, , В, , пи, , F)}$ , куда ${ displaystyle E}$ , ${ displaystyle B}$ , и ${ displaystyle F}$ находятся топологические пространства и ${ displaystyle pi: E rightarrow B}$ это непрерывный сюрприз удовлетворение местная мелочь условие, изложенное ниже. Космос ${ displaystyle B}$ называется базовое пространство пакета, ${ displaystyle E}$ в общая площадь, и ${ displaystyle F}$ в волокно. Карта π называется карта проекции (или связка проекции). В дальнейшем будем предполагать, что базовое пространство ${ displaystyle B}$ является связаны.

Мы требуем этого для каждого ${ displaystyle x in B}$ , есть открытый район ${ displaystyle U subset B}$ из ${ displaystyle x}$ (которую мы будем называть тривиализирующей окрестностью) такая, что существует гомеоморфизм ${ Displaystyle varphi: pi ^ {- 1} (U) rightarrow U times F}$ (куда ${ Displaystyle U раз F}$ - пространство продукта) таким образом, что π соглашается с прогнозом на первый фактор. То есть следующая диаграмма должна ездить:

(1)

куда ${ displaystyle { text {proj}} _ {1}: U times F rightarrow U}$ это естественная проекция и ${ Displaystyle varphi: pi ^ {- 1} (U) rightarrow U times F}$ является гомеоморфизмом. Набор всех ${ Displaystyle влево { влево (U_ {я}, , varphi _ {я} вправо) вправо }}$ называется локальная тривиализация комплекта.

Таким образом, для любого ${ displaystyle p in B}$ , то прообраз ${ displaystyle pi ^ {- 1} ( {p })}$ гомеоморфен ${ displaystyle F}$ (поскольку proj₁⁻¹({п}) явно есть) и называется волокно над п. Каждый пучок волокон ${ displaystyle pi: E rightarrow B}$ является открытая карта, поскольку проекции продуктов - это открытые карты. Следовательно ${ displaystyle B}$ несет факторная топология определяется картой π.

Пучок волокон ${ Displaystyle (Е, , В, , пи, , F)}$ часто обозначается

{ displaystyle { begin {matrix} {} F longrightarrow E { xrightarrow {, pi }} B {} end {matrix}}}

(2)

что по аналогии с короткая точная последовательность, указывает, какое пространство является волокном, общее пространство и базовое пространство, а также карту от общего к базовому пространству.

А пучок гладких волокон расслоение в категория из гладкие многообразия. То есть, ${ displaystyle E}$ , ${ displaystyle B}$ , и ${ displaystyle F}$ должны быть гладкими многообразиями, и все указанные выше функции должны быть гладкие карты.

Примеры

Тривиальный комплект

Позволять ${ displaystyle E = B times F}$ и разреши ${ displaystyle pi: E rightarrow B}$ быть проекцией на первый фактор. потом ${ displaystyle E}$ является расслоением (из ${ displaystyle F}$ ) над ${ displaystyle B}$ . Здесь ${ displaystyle E}$ не только местный продукт, но глобально один. Любой такой пучок волокон называется тривиальная связка. Любой пучок волокон над стягиваемым CW-комплекс тривиально.

Нетривиальные связки

Лента Мебиуса

Лента Мёбиуса - это нетривиальное расслоение над окружностью.

Пожалуй, самый простой пример нетривиальной связки ${ displaystyle E}$ это Лента Мебиуса. Он имеет круг который проходит по центру полосы в качестве основы ${ displaystyle B}$ и отрезок для волокна ${ displaystyle F}$ , поэтому лента Мёбиуса представляет собой расслоение отрезка прямой над окружностью. Район ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle pi (x) in B}$ ( куда ${ displaystyle x in E}$ ) - дуга; на картинке это длина одного из квадратов. Прообраз ${ Displaystyle pi ^ {- 1} (U)}$ на картинке - (несколько скрученный) кусок полосы шириной четыре квадрата и один длинный.

Гомеоморфизм ( ${ displaystyle varphi}$ в разделе Формальное определение) существует, отображающий прообраз ${ displaystyle U}$ (тривиальная окрестность) среза цилиндра: изогнута, но не скручена. Эта пара локально тривиализирует полосу. Соответствующее тривиальное расслоение ${ displaystyle B times F}$ будет цилиндр, но полоса Мёбиуса имеет общий «поворот». Этот поворот виден только глобально; локально лента Мебиуса и цилиндр идентичны (выполнение одного вертикального разреза в любом из них дает одинаковое пространство).

Бутылка Клейна

Аналогичным нетривиальным расслоением является Бутылка Клейна, который можно рассматривать как «скрученный» пучок кругов над другим кругом. Соответствующее нескрученное (тривиальное) расслоение - это 2-тор, ${ Displaystyle S ^ {1} раз S ^ {1}}$ .

Бутылка Клейна погруженный в трехмерном пространстве.

Тор.

Покрывающая карта

А покрывающее пространство расслоение такое, что проекция расслоения локальный гомеоморфизм. Отсюда следует, что волокно является дискретное пространство.

Векторные и главные пучки

Особый класс пучков волокон, называемый векторные пакеты, те, волокна которых векторные пространства (чтобы квалифицироваться как векторное расслоение, структурная группа расслоения - см. ниже - должна быть линейная группа). Важные примеры векторных расслоений включают касательный пучок и котангенсный пучок гладкого многообразия. Из любого векторного расслоения можно построить комплект кадров из базы, которое является главным расслоением (см. ниже).

Другой особый класс пучков волокон, называемый основные связки, - расслоения, на слоях которых свободная и транзитивная действие группой ${ displaystyle G}$ задано, так что каждый слой является главное однородное пространство. Пакет часто указывается вместе с группой, называя ее принципалом. ${ displaystyle G}$ -пучок. Группа ${ displaystyle G}$ также является структурной группой расслоения. Учитывая представление ${ displaystyle rho}$ из ${ displaystyle G}$ в векторном пространстве ${ displaystyle V}$ , векторное расслоение с ${ Displaystyle rho (G) substeq { text {Aut}} (V)}$ как структурная группа может быть построена, известная как связанный пакет.

Наборы сфер

А связка сфер расслоение, слой которого является п-сфера. Учитывая векторное расслоение ${ displaystyle E}$ с метрика (например, касательный пучок к Риманово многообразие) можно построить ассоциированный пучок единичных сфер, для которого слой над точкой ${ displaystyle x}$ - это множество всех единичных векторов в ${ displaystyle E_ {x}}$ . Когда рассматриваемое векторное расслоение является касательным расслоением ${ displaystyle TM}$ расслоение единичных сфер известно как единичный касательный пучок.

Расслоение сфер частично характеризуется своим Класс Эйлера, что является степенью ${ displaystyle n + 1}$ когомология класс в общем пространстве пучка. В случае ${ displaystyle n = 1}$ расслоение сфер называется связка кругов а класс Эйлера равен первому Черн класс, который полностью характеризует топологию расслоения. Для любого ${ displaystyle n}$ , учитывая класс Эйлера расслоения, можно вычислить его когомологии, используя длинная точная последовательность называется Последовательность гизина.

Отображение торов

Если Икс это топологическое пространство и ${ displaystyle f: X rightarrow X}$ это гомеоморфизм затем отображение тор ${ displaystyle M_ {f}}$ имеет естественную структуру пучка волокон над круг с волокном ${ displaystyle X}$ . Отображение торов гомеоморфизмов поверхностей особенно важно в Топология 3-многообразия.

Факторные пространства

Если ${ displaystyle G}$ это топологическая группа и ${ displaystyle H}$ это закрытая подгруппа, то при некоторых обстоятельствах факторное пространство ${ displaystyle G / H}$ вместе с факторной картой ${ Displaystyle пи двоеточие G в G / H}$ является расслоением, слоем которого является топологическое пространство ${ displaystyle H}$ . Необходимое и достаточное условие для ( ${ Displaystyle G, , G / H, , pi, , H}$ ) для образования расслоения состоит в том, что отображение ${ displaystyle pi}$ признаться местные сечения (Стинрод 1951, §7).

Наиболее общие условия, при которых фактор-отображение допускает локальные сечения, неизвестны, хотя если ${ displaystyle G}$ это Группа Ли и ${ displaystyle H}$ замкнутая подгруппа (и, следовательно, подгруппа Ли по Теорема Картана), то фактор-отображение является расслоением. Одним из примеров этого является Расслоение Хопфа, ${ Displaystyle S ^ {3} к S ^ {2}}$ , который представляет собой расслоение над сферой ${ Displaystyle S ^ {2}}$ чья общая площадь ${ Displaystyle S ^ {3}}$ . С точки зрения групп Ли, ${ Displaystyle S ^ {3}}$ можно отождествить с особая унитарная группа ${ displaystyle SU (2)}$ . Абелева подгруппа диагональных матриц изоморфна группе круговая группа ${ Displaystyle U (1)}$ , а частное ${ Displaystyle СУ (2) / U (1)}$ диффеоморфна сфере.

В более общем смысле, если ${ displaystyle G}$ любая топологическая группа и ${ displaystyle H}$ замкнутая подгруппа, которая также является группой Ли, то ${ Displaystyle G в G / H}$ является расслоением.

Разделы

А раздел (или же поперечное сечение) пучка волокон ${ displaystyle pi}$ это непрерывное отображение ${ displaystyle f двоеточие от B до E}$ такой, что ${ Displaystyle пи (е (х)) = х}$ для всех Икс в B. Поскольку пучки, как правило, не имеют глобально определенных секций, одна из целей теории состоит в том, чтобы объяснить их существование. В препятствие к существованию сечения часто можно измерить классом когомологий, что приводит к теории характеристические классы в алгебраическая топология.

Самый известный пример - это теорема о волосатом шарике, где Класс Эйлера препятствие для касательный пучок 2-сферы, имеющей нигде не исчезающее сечение.

Часто бывает необходимо определять разделы только локально (особенно когда глобальные разделы не существуют). А местная секция расслоения является непрерывным отображением ${ displaystyle f двоеточие от U до E}$ куда U является открытый набор в B и ${ Displaystyle пи (е (х)) = х}$ для всех Икс в U. Если ${ Displaystyle (U, , varphi)}$ является локальной картой тривиализации, то локальные сечения всегда существуют над U. Такие участки находятся в соответствии 1-1 с непрерывными отображениями. ${ displaystyle U to F}$ . Разделы образуют пучок.

Структурные группы и переходные функции

Пучки волокон часто поставляются с группа симметрий, которые описывают условия согласования между перекрывающимися локальными картами тривиализации. В частности, пусть грамм быть топологическая группа который действует непрерывно в волоконном пространстве F слева. Мы ничего не теряем, если потребуем грамм играть верно на F так что его можно рассматривать как группу гомеоморфизмы из F. А грамм-атлас для связки (E, B, π, F) - это набор локальных карт тривиализации ${ Displaystyle {(U_ {к}, , varphi _ {k}) }}$ такой, что для любого ${ displaystyle varphi _ {i}, varphi _ {j}}$ для перекрывающихся графиков ${ Displaystyle (U_ {я}, , varphi _ {я})}$ и ${ displaystyle (U_ {j}, , varphi _ {j})}$ функция

{ displaystyle varphi _ {i} varphi _ {j} ^ {- 1} двоеточие left (U_ {i} cap U_ {j} right) times F to left (U_ {i} cap U_ {j} right) times F}

дан кем-то

{ displaystyle varphi _ {i} varphi _ {j} ^ {- 1} (x, , xi) = left (x, , t_ {ij} (x) xi right)}

куда т_ij : U_я ∩ U_j → грамм непрерывное отображение, называемое функция перехода. Два грамм-атласы эквивалентны, если их объединение также является грамм-атлас. А грамм-пучок является расслоением с классом эквивалентности грамм-атласы. Группа грамм называется структурная группа комплекта; аналогичный термин в физике группа датчиков.

В гладкой категории a грамм-бандл - это гладкий пучок волокон, в котором грамм это Группа Ли и соответствующее действие на F является гладким, а все функции перехода являются гладкими отображениями.

Функции перехода т_ij удовлетворяют следующим условиям

${ Displaystyle т_ {II} (х) = 1 ,}$
${ displaystyle t_ {ij} (x) = t_ {ji} (x) ^ {- 1} ,}$
${ displaystyle t_ {ik} (x) = t_ {ij} (x) t_ {jk} (x). ,}$

Третье условие применяется к тройным перекрытиям. U_я ∩ U_j ∩ U_k и называется состояние коцикла (видеть Когомологии Чеха). Важность этого состоит в том, что функции перехода определяют расслоение (если принять условие коцикла Чеха).

А главный грамм-пучок это грамм-бандл, где волокна F это главное однородное пространство для левого действия грамм сам (эквивалентно можно указать, что действие грамм на волокне F свободен и транзитивен, т.е. обычный). В этом случае часто бывает удобно идентифицировать F с грамм и таким образом получить (правильное) действие грамм на основном связке.

Связать карты

Полезно иметь представление о отображении между двумя пучками волокон. Предположим, что M и N являются базовыми пространствами, а ${ displaystyle pi _ {E} двоеточие от E до M}$ и ${ displaystyle pi _ {F} двоеточие с F на N}$ пучки волокон над M и N, соответственно. Карта пакета (или морфизм пучка) состоит из пары непрерывных^[13] функции

{ Displaystyle varphi двоеточие E to F, quad f двоеточие M to N}

такой, что ${ displaystyle pi _ {F} circ varphi = f circ pi _ {E}}$ . То есть следующие диаграмма коммутирует:

Для пучков волокон со структурной группой грамм и чьи полные пространства (справа) грамм-пространства (например, главное расслоение), морфизмы расслоения также должны быть грамм-эквивариантный на волокнах. Это означает, что ${ displaystyle varphi двоеточие от E до F}$ это также грамм-морфизм из одного грамм-пространство в другое, т.е. ${ Displaystyle varphi (xs) = varphi (x) s}$ для всех ${ displaystyle x in E}$ и ${ displaystyle s in G}$ .

Если базовые пространства M и N совпадают, то морфизм расслоения над M из пучка волокон ${ displaystyle pi _ {E} двоеточие от E до M}$ к ${ displaystyle pi _ {F} двоеточие с F на M}$ это карта ${ displaystyle varphi двоеточие от E до F}$ такой, что ${ displaystyle pi _ {E} = pi _ {F} circ varphi}$ . Это означает, что карта пакета ${ displaystyle varphi двоеточие от E до F}$ охватывает личность M. То есть, ${ Displaystyle е эквив mathrm {id} _ {M}}$ и диаграмма коммутирует

Предположим, что оба ${ displaystyle pi _ {E} двоеточие от E до M}$ и ${ displaystyle pi _ {F} двоеточие с F на M}$ определены над одним и тем же базовым пространством M. Изоморфизм расслоения - это отображение расслоения ${ Displaystyle ( varphi, , е)}$ между π_E : E → M и π_F : F → M такой, что ${ Displaystyle е эквив mathrm {id} _ {M}}$ и такой, что φ также является гомеоморфизмом.^[14]

Дифференцируемые пучки волокон

В категории дифференцируемые многообразиярасслоения естественно возникают как погружения одного коллектора на другой. Не всякая (дифференцируемая) субмерсия:M → N из дифференцируемого многообразия M на другое дифференцируемое многообразие N рождает дифференцируемый пучок волокон. Во-первых, карта должна быть сюръективной, и (M, N, ƒ) называется расслоенное многообразие. Однако этого необходимого условия недостаточно, и обычно используется множество достаточных условий.

Если M и N компактны и связны, то любая субмерсия ж : M → N приводит к расслоению в том смысле, что существует расслоение F диффеоморфный каждому из слоев такой, что (E, B, π, F) = (M, N, ƒ, F) - расслоение. (Сюръективность следует из предположений, уже сделанных в этом случае.) В более общем смысле, предположение компактности может быть ослаблено, если субмерсия ƒ:M → N предполагается сюръективным правильная карта, что означает, что ƒ⁻¹(K) компактен для любого компактного подмножества K из N. Еще одно достаточное условие, связанное с Эресманн (1951), заключается в том, что если ƒ:M → N сюръективно погружение с M и N дифференцируемые многообразия такой, что прообраз ƒ⁻¹{Икс} является компактный и связаны для всех Икс ∈ N, то ƒ допускает совместимую структуру расслоения (Мичор 2008, §17).

Обобщения

Понятие о пучок применяется ко многим другим категориям математики за счет соответствующей модификации условия локальной тривиальности; ср. главное однородное пространство и торсор (алгебраическая геометрия).
В топологии расслоение это отображение π : E → B это имеет определенные теоретико-гомотопический общие свойства с пучками волокон. В частности, при мягких технических предположениях пучок волокон всегда имеет свойство гомотопического подъема или свойство гомотопического покрытия (см. Стинрод (1951, 11.7) для подробностей). Это определяющее свойство расслоения.
Участок жгута волокон - это «функция, выходной диапазон которой постоянно зависит от входа». Это свойство формально отражено в понятии зависимый тип.

Смотрите также

Примечания

^ Зейферт, Герберт (1933). "Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume". Acta Mathematica. 60: 147–238. Дои:10.1007 / bf02398271.
^ "Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume" на Проект Евклид.
^ Уитни, Хасслер (1935). «Сферные пространства». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 21 (7): 464–468. Дои:10.1073 / pnas.21.7.464. ЧВК 1076627. PMID 16588001.
^ Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 26 (2): 148–153. Дои:10.1073 / pnas.26.2.148. ЧВК 1078023. PMID 16588328.
^ Фельдбау, Жак (1939). "Sur la классификация волоконных пространств". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 208: 1621–1623.
^ Эресманн, Чарльз (1947). "Sur la théorie des espaces fibrés". Coll. Вершина. Alg. Париж. C.N.R.S .: 3–15.
^ Эресманн, Чарльз (1947). "Sur les espaces fibrés différentiables". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 224: 1611–1612.
^ Эресманн, Чарльз (1955). "Различия в пролонгации фиброволокна". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 240: 1755–1757.
^ Серр, Жан-Пьер (1951). "Homologie singulière des espaces fibrés. Приложения". Анналы математики. 54 (3): 425–505. Дои:10.2307/1969485. JSTOR 1969485.
^ Видеть Стинрод (1951, Предисловие)
^
В своих ранних работах Уитни называл расслоения сфер «сферами-пространствами». См. Например:
- Уитни, Хасслер (1935). «Сферные пространства». Proc. Natl. Акад. Наука. 21 (7): 462–468. Дои:10.1073 / pnas.21.7.464. ЧВК 1076627. PMID 16588001.
- Уитни, Хасслер (1937). «Топологические свойства дифференцируемых многообразий». Бык. Амер. Математика. Soc. 43 (12): 785–805. Дои:10.1090 / с0002-9904-1937-06642-0.
^ Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер» (PDF). Proc. Natl. Акад. Наука. 26 (2): 148–153. Дои:10.1073 / pnas.26.2.148. ЧВК 1078023. PMID 16588328.
^ В зависимости от категории задействованных пространств можно предположить, что функции обладают свойствами, отличными от непрерывности. Например, в категории дифференцируемых многообразий функции предполагаются гладкими. В категории алгебраических многообразий они являются регулярными морфизмами.
^ Или, по крайней мере, обратим в соответствующей категории; например, диффеоморфизм.

внешняя ссылка

Пучок волокна, PlanetMath
Роуленд, Тодд. «Пучок волокна». MathWorld.
Создание символической скульптуры Джона Робинсона "Вечность"
Сарданашвили, Геннадий, Расслоения, многообразия струй и лагранжева теория. Лекции для теоретиков, arXiv:0908.1886

[1] Зейферт, Герберт (1933). "Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume". Acta Mathematica. 60: 147–238. Дои:10.1007 / bf02398271.

[2] "Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume" на Проект Евклид.

[3] Уитни, Хасслер (1935). «Сферные пространства». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 21 (7): 464–468. Дои:10.1073 / pnas.21.7.464. ЧВК 1076627. PMID 16588001.

[4] Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 26 (2): 148–153. Дои:10.1073 / pnas.26.2.148. ЧВК 1078023. PMID 16588328.

[5] Фельдбау, Жак (1939). "Sur la классификация волоконных пространств". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 208: 1621–1623.

[6] Эресманн, Чарльз (1947). "Sur la théorie des espaces fibrés". Coll. Вершина. Alg. Париж. C.N.R.S .: 3–15.

[7] Эресманн, Чарльз (1947). "Sur les espaces fibrés différentiables". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 224: 1611–1612.

[8] Эресманн, Чарльз (1955). "Различия в пролонгации фиброволокна". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 240: 1755–1757.

[9] Серр, Жан-Пьер (1951). "Homologie singulière des espaces fibrés. Приложения". Анналы математики. 54 (3): 425–505. Дои:10.2307/1969485. JSTOR 1969485.

[10] Видеть Стинрод (1951, Предисловие)

[11] В своих ранних работах Уитни называл расслоения сфер «сферами-пространствами». См. Например:
Уитни, Хасслер (1935). «Сферные пространства». Proc. Natl. Акад. Наука. 21 (7): 462–468. Дои:10.1073 / pnas.21.7.464. ЧВК 1076627. PMID 16588001.
Уитни, Хасслер (1937). «Топологические свойства дифференцируемых многообразий». Бык. Амер. Математика. Soc. 43 (12): 785–805. Дои:10.1090 / с0002-9904-1937-06642-0.

[12] Уитни, Хасслер (1935). «Сферные пространства». Proc. Natl. Акад. Наука. 21 (7): 462–468. Дои:10.1073 / pnas.21.7.464. ЧВК 1076627. PMID 16588001.

[13] Уитни, Хасслер (1937). «Топологические свойства дифференцируемых многообразий». Бык. Амер. Математика. Soc. 43 (12): 785–805. Дои:10.1090 / с0002-9904-1937-06642-0.

[12] Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер» (PDF). Proc. Natl. Акад. Наука. 26 (2): 148–153. Дои:10.1073 / pnas.26.2.148. ЧВК 1078023. PMID 16588328.

[13] В зависимости от категории задействованных пространств можно предположить, что функции обладают свойствами, отличными от непрерывности. Например, в категории дифференцируемых многообразий функции предполагаются гладкими. В категории алгебраических многообразий они являются регулярными морфизмами.

[14] Или, по крайней мере, обратим в соответствующей категории; например, диффеоморфизм.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

Navigation