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Seite aus der Korrespondenz zwischen Fermat und Pascal

Es Punkteproblem, Partyproblem, Verteilungsproblem oder Divisionsproblem Die Frage ist, was ist die gerechte Verteilung der Preis Pool beim Anhalten a Glücksspiel mit zwei Spielern mit gleichem Chancen wobei der erste, der eine vereinbarte Anzahl von Runden gewinnt, den gesamten Pot gewonnen hätte. Das Lösung dieses Problems kam 1654 von Pascal in einem Korrespondenz mit Fermat auf eine Frage von Die Mere. So entwickelte Pascal das, was heute als . bekannt ist mathematische Erwartung, daher gilt dies als der Beginn des Wahrscheinlichkeit.

Das Problem wurde bereits in einer italienischen Schrift aus dem Jahr 1380 erwähnt:

Zwei Parteien spielen ein Ballspiel. Beide Seiten haben die gleichen Gewinnchancen. Die erste Seite, die 6-mal gewinnt, bekommt den Pot von 60 Dukaten. Aus irgendeinem Grund muss das Spiel bei 5-3 abgebrochen werden. Wie soll der Topf aufgeteilt werden?

Frühe Versuche

pacioli hatte bereits 1494 eine Lösung gefunden. Er schlug vor, den Einsatz proportional zur Anzahl der gewonnenen Runden jedes Spielers zu teilen, also im obigen Beispiel im Verhältnis 5:3. Dies führte jedoch zu unbefriedigenden Ergebnissen. So bemerkt Tartaglia Beachten Sie, dass, wenn das Spiel nach einer Runde abgebrochen wurde, der Spieler, der diese Runde gewonnen hat, den gesamten Pot gewinnen würde, was nicht logisch erschien. Seine Lösung bestand darin, den Vorsprung auf die vereinbarte Rundenzahl zu teilen. Dies war jedoch auch nicht die Lösung. Wenn bis 100 gespielt wird, würde eine 65-55-Führung die gleiche Verteilung ergeben wie eine 98-88-Führung, während im zweiten Fall die Gewinnwahrscheinlichkeit für den ersten Spieler größer ist. Ein befreundeter Mathematiker, kardano, meinte, dass die Gewinnchancen bei Fortsetzung des Spiels berücksichtigt werden sollten. Damals konnte keine gute Lösung gefunden werden.

Pascal wurde das Problem unter anderem vom französischen Adligen vorgestellt Chevalier de Merez:

Zwei Spieler würfeln um eine Wette, sodass derjenige, der zuerst drei Spiele gewinnt, den Pot bekommt. Das Problem war, wie man den Pot aufteilt, wenn das Match zu kurz kommt.

Schritt für Schritt gelangt Pascal zu der allgemeinen Formulierung für jedes Spiel, bei der bei einem Abbruch ein Spieler m-mal und der andere Spieler noch einmal gewinnen muss, um den Pot zu bekommen.

Lösung

Fermat und Pascal kamen zu dem Schluss, dass es auf die Anzahl der zu spielenden Runden ankommt. Sie erreichten mit unterschiedlichen Methoden das gleiche Ergebnis.

Ein einfaches Beispiel ist, wenn das Spiel über fünf Runden gespielt wird und das Ergebnis am Ende des Spiels 2:1 beträgt. In den restlichen Runden gibt es dann folgende Möglichkeiten:

			2 - 1
	3 - 1				2 - 2
4 - 1		3 - 2		3 - 2		2 - 3

Der erste Spieler gewinnt drei der vier Möglichkeiten, so dass er oder sie 75% des Preispools erhält, wenn dieser bricht. In moderner Form wird die Lösung von Pascal im Verhältnis ${Displaystil N:M}$ der Gewinnchancen beider Spieler an der Breakout-Position, in der ein Spieler noch ${displaystyle m}$ mal muss gewinnen und der andere spieler noch ${displaystyle n}$ mal um den Topf zu bekommen:

${displaystyle N=sum _{i=0}^{n-1}{m n-1 wähle i}}$,

die Summe der ersten ${displaystyle n}$ Zahlen auf dem ${Anzeigestil (m n-1)}$-die Reihe (ab Reihe 0) in den Dreiecken

${displaystyle M=sum _{i=n}^{m n-1}{m n-1 wähle i}}$,

die Summe der letzten ${displaystyle m}$ Zahlen in dieser Reihe.

Die Lösung von Pascal und Fermat war nur in kleinen Kreisen bekannt. Die erste, die darüber veröffentlicht hat, war Huygens 1657, der das Problem selbst löste, nachdem er erfahren hatte, dass Pascal und Fermat eine Lösung gefunden hatten.

Ungleiche Chancen

Auch bei Chancenungleichheit kann eine Lösung gefunden werden. Dies wurde ausgearbeitet von Johan Bernoullic, Montmort und Das Moivre.