WikiDer > Pythagoräisches Komma

Es pythagoräisches Komma, benannt nach Pythagoras, ist in der Musik ein kleines Intervall (Unterschied in der Tonhöhe) in der saubere Stimmung.

Definition

Es pythagoräisches Komma ist der Unterschied zwischen zwölf aufeinanderfolgenden perfekte Quinten in reiner Stimmung (Tonverhältnis 3:2)^[1] und sieben aufeinanderfolgende (saubere) Oktaven (Verhältnis der Tonhöhen 2:1). Dieses Komma erscheint in der reinen Stimmung zwischen enharmonisch gleiche Töne, zum Beispiel zwischen den Show Eis und F.

Die zwölf aufeinanderfolgenden Quinten bedeuten ein Verhältnis der Stellplätze von ${displaystyle { ig (}{ frac {3}{2}}{ ig)}^{12}}$ und die sieben Oktaven geben ${Displaystil 2^{7}}$, so dass das Verhältnis der Tonhöhen des pythagoräischen Kommas gleich ist:

${displaystyle { ig (}{ frac {3}{2}}{ ig )}^{12}:2^{7}=3^{12}:2^{19}={ frac {531441}{524288} }ungefähr {1{,}01364}}$

Konvertiert zu Cent das sind ungefähr 23,46 Cent oder ungefähr ein Viertel eines Halbtons.

Beim Durchlaufen der Quintenzirkel, beginnend mit dem Stammton F kommt man nacheinander zu den Tönen

F – C – G – D – A – E – B – Fis – Cis – Gis – Dis – Ais – Eis

Nach zwölf perfekten Quinten erreicht man den Ton Eis, der fast 7 Oktaven über dem Ton F liegt, von dem aus man angefangen hat. Allerdings ist dieser Ton Eis nicht gleich dem F. Der Unterschied zwischen diesen beiden Tönen ist das pythagoräische Komma.

Leicht abnehmend (um fast 2 Cent) ergibt die natürliche Quinte ein Intervall - de gleiches Temperament - davon passen genau zwölf in sieben Oktaven. In dem gleiches Temperament der Quintenzirkel ist nach 12 Schritten genau rund. In dieser Stimmung haben die Töne Eis und F die gleiche Tonhöhe: Sie heißen enharmonisch einander gleich sein.

Andere Möglichkeiten der Vorbeugung

Das pythagoräische Komma kommt auch vor:

• als Differenz zwischen sechs gestapelten Ganztönen (9:8) und der Oktave (1:2)
  ${displaystyle quad { ig (}{ frac {9}{8}}{ ig)}^{6}:2=3^{12}:2^{19}}$
• als Differenz zwischen dem Ganzton (9:8) und zwei gestapelten pythagoräische Halbtöne (jeweils 256 : 243):
  ${displaystyle quad { frac {9}{8}}:{ ig (}{ frac {256}{243}}{ ig)}^{2}=3^{12}:2^{19}}$

Das Komma leitet seinen Namen von dieser letzten Bedeutung ab.

Geschichte

Das PythagoräerPhilolaos definierte zuerst das pythagoräische Komma. Er begründete dies mit der reinen Stimmung von a lyra und die Stringlängen verglichen.

Für eine Oktave ist es 2:1, für eine Quinte 3:2 und für die Quarte, die eigentlich die Quinte einer tieferen Oktave ist, 4:3.

Die inversen Verhältnisse repräsentieren die Frequenzverhältnisse.

Das Intervall zwischen Quarte und Quinte betrachtete er als Ganzton (Abstand), also 8:9.

Philolaos fand den Halbton (Abstand) zwischen einem Viertel und zwei Ganztönen, also

${displaystyle { frac {4}{3}}:{ ig (}{ frac {9}{8}}{ ig )}^{2}={ frac {256}{243}}}$.

Dann stellt sich heraus, dass zwei Halbtöne zusammen keinen Ganzton bilden, sondern etwas kleiner sind. Philolaos nennt die Differenz das (pythagoräische) Komma, also

${displaystyle { frac {9}{8}}:{ ig (}{ frac {256}{243}}{ ig)}^{2}={ frac {531441}{524288}}={ ig (}{ frac {3}{2}}{ ig )}^{12}:2^{7}}$

Philolaos definierte das Komma, lieferte aber keine Berechnung. Es war Euklid, der als erster das Verhältnis 531441 : 524288 erwähnte. Er stellte fest, dass sechs Ganztöne ein etwas größeres Intervall als eine Oktave bilden. Der Unterschied ist wieder das pythagoräische Komma:

${displaystyle { ig (}{ frac {9}{8}}{ ig)}^{6}:2={ frac {531441}{524288}}}$

Chinesische Mathematiker waren bereits 122 v. vertraut mit dem, was später das pythagoreische Komma genannt wird. Eine detaillierte Berechnung findet sich in einem alten chinesischen Text, dem Huainanzi. Um 50 v. der chinesische Musiktheoretiker, Mathematiker und Astrologe Ching Fang entdeckte, dass bei einer Fortsetzung des Quintenzirkels auf 53 Quinten der Unterschied zum Grundton (nach Reduktion um Oktaven) viel kleiner war als das pythagoreische Komma. Dieses sehr kleine Intervall wurde später Komma von Mercator erwähnt.

Siehe auch

• Komma (Musik)
• Didymisches Komma

Externer Link

• Das pythagoreische und syntonische Komma. von Joachim Mohr

Nüsse