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Raumwinkel

Raumwinkel ist das dreidimensionale Analogon des 'gewöhnlichen' Ecke in der flachen Ebene. Der Raumwinkel bestimmt, wie groß ein Objekt aussieht, wenn es von einem bestimmten Punkt aus betrachtet wird. Beispielsweise kann ein kleineres Objekt in der Nähe denselben Raumwinkel haben wie ein größeres Objekt weiter entfernt.

Die Größe des Raumwinkels ${Anzeigestil Omega}$ ist der Bereich der Projektion des betrachteten Objekts auf der Einheitskugel aus der Mitte^[1]:

${displaystyle Omega =iint-Grenzen _{S}dOmega ={frac {1}{r^{2}}}iint-Grenzen _{S}dS}$

Um in die Formel zu kommen, Maße verständlich zu machen ist der radius r der darin enthaltenen Kugel, denn selbst wenn sie als 1 Längeneinheit gewählt wird, ist sie a ehrgeizig mit Maßlänge. Die Formel zeigt somit, dass der Raumwinkel dimensionslos ist. Dennoch wird bei der Angabe der Größe des Raumwinkels oft aus Gründen der Übersichtlichkeit verwendet Steradiant (sr) angegeben, ein dimensionsloses SI-Einheit mit dem Zahlenwert 1. Eine volle sphärische Oberfläche bildet einen Raumwinkel von 4π sr. Wenn man einen Raumwinkel der Größe Ω mit einer Kugel vom Radius r schneidet, hat der Querschnitt eine Fläche Ωr².

In einem Koordinatensystem mit der Form Breite${Anzeigestil-Heta}$ und Längengrad${Anzeigestil Varphi }$ (siehe auch Koordinaten auf einer Kugelfläche) gilt (mit ${Anzeigestil-Heta}$ und ${Anzeigestil Varphi }$ im Bogenmaß)

${displaystyle mathrm {d} Omega ={frac {mathrm {d} S}{r^{2}}}=sin heta ,mathrm {d} heta ,mathrm {d} varphi }$

und somit

${displaystyle Omega =iint limit _{S}sin heta ,mathrm {d} heta ,mathrm {d} varphi }$

Der Faktor ${Anzeigestil cos heta }$ entspricht der Tatsache, dass auf einem Breitenkreis die Koordinate ${Anzeigestil Varphi }$ durchläuft ein Intervall von ${Displaystil 2pi }$ Bogenmaß, aber dieser Breitenkreis auf der Einheitskugel außerhalb des "Äquators" hat eine Länge von weniger als ${Displaystil 2pi }$, weil es nicht ist großer Kreis ist.

Für ein Gebiet mit dem Breitengrad ${displaystyle heta_{1}}$ und ${displaystyle heta_{2}}$ und Länge von ${displaystyle varphi_{1}}$ und ${displaystyle varphi_{2}}$ gibt die Formel

${displaystyle Omega =(varphi _{2}-varphi _{1})(sin heta _{2}-sin heta _{1})}$

EIN Grad kann als dimensionslose Einheit für Winkelgrößen betrachtet werden, gegeben durch die dimensionslose Zahl π/180. So gesehen ist die Formel unabhängig von der Einheit für Winkelgrößen (da Formeln grundsätzlich immer eine Beziehung zwischen Größen angeben, unabhängig von den verwendeten Einheiten).

Darauf aufbauend, a Quadratgrad als zugehörige dimensionslose Einheit für den Raumwinkel, gegeben durch ein Grad im Quadrat, also die dimensionslose Größe (π/180)² sr, und analog für eine Quadrat-Bogenminute (1/3600 davon) und eine Quadrat-Bogensekunde (1/ 3600 davon). Damit ist ein Steradiant 3282,81 Quadratgrad oder 11.818.103 Quadratbogenminuten oder 42.545.170.296 Quadratbogensekunden. Ein Längengrad umfasst 114,5916 Quadratgrad oder 412,529,6125 Quadratbogenminuten oder 1.485,106.604,9791 Quadratbogensekunden.

Andere Definitionen von Quadratgrad, Quadratbogenminute und Quadratbogensekunde

Leicht unterschiedliche Definitionen von Quadratgrad, Quadratbogenminute und Quadratbogensekunde werden ebenfalls verwendet. Bezüglich geografische Koordinaten und entsprechenden Himmelskoordinaten, in einem Kontext, in dem ein Quadratgrad auf verschiedenen Breitengraden ein gleicher Raumwinkel sein muss, ist die einfache Interpretation einer Fläche, die ein Grad in Ost-West-Richtung und ein Grad in Nord-Süd-Richtung ist, sowieso ungeeignet .

Im Fall einer Kugel mit geographischen Koordinaten kann beispielsweise unter einem Quadratgrad der Raumwinkel verstanden werden, der einer Fläche entspricht, die von zwei geographischen Längengraden begrenzt wird, die sich um ein Grad unterscheiden, und den geographischen Breiten -0,5° und 0,5° wobei auf anderen Breiten eine gleiche Fläche eingenommen wird). Durch die Mitte gemessen, können Länge und Breite gleich sein, aber wenn versucht wird, in 3600 Quadratbogenminuten zu unterteilen, sind sie nicht vollständig quadratisch.

Nach dieser Definition ist ein Quadratgrad ${displaystyle {frac {pi }{90}}sin 0.5^{circ }}$ sr = 304.614 μsr. Ein Steradiant ist dann 3282,85 Quadratgrad.^[2], und die ganze Kugel bzw. 41.253.5 und nimmt einen Längengrad ein ${displaystyle {frac {1}{sin 0.5^{circ }}}=114.5930}$ quadratischer Grad.

Analog können eine Quadratbogenminute und eine Quadratbogensekunde definiert werden. Nach diesen Definitionen belegt ein Längengrad 412.529.6139 Quadratbogenminuten oder 1.485.106.604.9806 Quadratbogensekunden.^[3]

Eine andere Möglichkeit ist ein gekrümmtes Quadrat auf der Kugel mit der Symmetrie eines regelmäßigen Quadrats (eine Vierteldrehung ergibt dasselbe). Dies kann durch Anwendung des Systems in beide Richtungen wie oben für den Breitengrad (Begrenzung durch zwei parallele Ebenen) oder durch Anwendung des Systems in beide Richtungen wie oben für den geografischen Längengrad (Begrenzung durch zwei Ebenen durch den Kugelmittelpunkt) erfolgen ; alle Seiten des Quadrats sind Teile von große Kreise). Dies passt jedoch nicht gut zu einem Koordinatensystem auf einer Kugelfläche: Diese haben immer zwei Koordinaten, die eine asymmetrische Rolle erfüllen.

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