WikiDer > Gleichzeitige Verteilung

In dem Wahrscheinlichkeit ist ein gleichzeitige Verteilung, gemeinsame Teilung oder multivariate Verteilung das (Wahrscheinlichkeitsverteilung von mehr als einem stochastische Variable. Die gleichzeitige Verteilung mehrerer stochastischer Variablen bestimmt die Chancen auf Ereignisse, die sich auf mehr als eine der Variablen beziehen. Somit ist die simultane Verteilung der beiden stochastischen Variablen ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit der Veranstaltung Welche ${Anzeigestil X}$ ist größer als ${Anzeigestil Y}$.

Diskrete Simultanverteilung

Eine diskrete simultane Verteilung wird durch die simultane Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Stochastik bestimmt. Das ist eine nicht negative Funktion

${displaystyle p(x_{1},x_{2},ldots,x_{n})=P(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},ldots,X_{n} =x_{n})}$

für die

${Anzeigestilsumme _{x_{1},ldots ,x_{n}}p(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})=1}$,

wobei über alle möglichen Werte von summiert wird ${displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}}$.

Für die diskrete simultane Verteilungsfunktion${displaystyle F(x_{1},x_{2},ldots,x_{n})}$ gilt:

${displaystyle F(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})=P(X_{1}leq x_{1},X_{2}leq x_{2},ldots ,X_{n} leq x_{n})=Summe _{u_{1}leq x_{1},ldots ,u_{n}leq x_{n}}f(u_{1},u_{2},ldots ,u_{n} )}$

Das Multinomialverteilung ist eine diskrete Simultanverteilung.

Kontinuierliche gleichzeitige Verteilung

Eine stetige Simultanverteilung wird durch die Simultanwahrscheinlichkeitsdichte stetiger Zufallsvariablen bestimmt. Das ist nicht negativ, Stück für Stück fortlaufend Funktion

${displaystyle f(x_{1},x_{2},ldots,x_{n})}$

wofür:

${displaystyle int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }ldots int _{-infty }^{infty }f(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n }),{m {d}}x_{n}ldots {m {d}}x_{2}{m {d}}x_{1}=1}$

Für die kontinuierliche simultane Verteilungsfunktion${displaystyle F(x_{1},x_{2},ldots,x_{n})}$ gilt:

${displaystyle F(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})=int _{-infty }^{x_{1}}int _{-infty }^{x_{2}}ldots int _{-infty }^{x_{n}}f(u_{1},u_{2},ldots ,u_{n}),{m {d}}u_{n}ldots {m {d}}u_ {2}{m {d}}u_{1}}$

Das bivariate Normalverteilung und der multivariate Normalverteilung sind kontinuierliche Simultanverteilungen.

Randverteilung

Die gleichzeitige Verteilung mehrerer stochastischer Variablen bestimmt auch die Verteilung jeder der Variablen einzeln. Da eine solche Verteilung im diskreten Fall am Rand der Wahrscheinlichkeitstafel erscheint, wird diese Verteilung in diesem Zusammenhang als Randverteilung.

Im diskreten Fall erhält man die Randverteilung durch Addition. Damit ist die (marginale) Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten stochastischen Variablen ${displaystyle X_{1}}$:

${displaystyle p_{X_{1}}(x_{1})=Summe _{x_{2},ldots ,x_{n}}p(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}) }$

Im kontinuierlichen Fall erhält man die Randverteilung durch Integrieren. Damit ist die (marginale) Wahrscheinlichkeitsdichte der stetigen stochastischen Variablen ${displaystyle X_{1}}$.

${displaystyle f_{X_{1}}(x_{1})=int _{-infty }^{infty }ldots int _{-infty }^{infty }f(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}),{m {d}}x_{n}ldots {m {d}}x_{2}}$