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Das Summe-Produkt-Methode oder Produkt-Summen-Methode ist eine einfache Methode für faktorisieren zweiten Grades Polynom. Dies ist ein schneller Weg, um die Nullen dieses Polynoms. Auch aus diesem Grund ist dies meist die erste Faktorisierung von Polynomen, die man in der Schule lernt.

Prinzip

Jedes Polynom zweiten Grades in der Variablen ${Anzeigestil x}$ kann geschrieben werden als

${displaystyle axt^{2} bx c.}$

Die Grundvariante der Summenproduktmethode geht davon aus, dass ${displaystyle a=1}$, so dass das Polynom gleich ist

${displaystyle x^{2} bx c.}$

Eine Faktorisierung dieses Polynoms (in linearen Faktoren) sieht wie folgt aus:

${Anzeigestil (xw_{1})(xw_{2}).}$

Die Gleichsetzung dieser beiden Formen ergibt:

${displaystyle x^{2} bx c=(x w_{1})(x w_{2})=x^{2} (w_{1} w_{2})x w_{1}w_{2}. }$

Die Summen-Produkt-Methode basiert auf der Bestimmung ${displaystyle w_{1}}$ und ${displaystyle w_{2}}$ durch Gleichsetzen der Koeffizienten:

${displaystyle w_{1} w_{2}=b}$

und

${displaystyle w_{1}w_{2}=c.}$

Vor dem ganze${displaystyle w_{1}}$ und ${displaystyle w_{2}}$ sind in der Regel leicht zu finden.

Zum Beispiel kann die Methode verwendet werden, um Nullen des Polynoms

${Displaystil x^{2} bx c}$

zu entscheiden. Diese Nullen sind ${displaystyle -w_{1}}$ und ${displaystyle -w_{2}}$.

Beispiel

Zum Faktorisieren des Polynoms

${Displaystil x^{2} 2x-15}$

man sucht nach zwei Zahlen mit Summe 2 und Produkt –15. Zahlen, die diese Anforderung erfüllen, sind 5 und –3. Die Auflösung ist also

${Anzeigestil x^{2} 2x-15=(x5)(x-3).}$

Die Nullstellen dieses Polynoms sind also ${Anzeigestil x=-5}$ und ${Anzeigestil x=3}$.

Erweiterung

Eine Erweiterung der Summenproduktmethode kann manchmal verwendet werden, um Nullstellen zu finden als ein ist ungleich 1. Dazu wird die Gleichung umgeschrieben:

${displaystyle ax^{2} bx c=0}$

bis um

${displaystyle a(ax^{2} bx c)=a^{2}x^{2} abx ac=(ax)^{2} b(ax) ac=0}$.

Auf der Suche nach zwei Zahlen w₁ und w₂, für die:

${displaystyle w_{1} w_{2}=b}$

und

${displaystyle w_{1}w_{2}=ac}$

Beispiel

Zum Lösen

${Anzeigestil 2x^{2} 7x 6=0}$

wir schreiben die Gleichung um als

${Anzeigestil 4x^{2} 14x 12=0.}$

Wir suchen Zahlen w₁ und w₂, mit

${displaystyle w_{1} w_{2}=7}$

und

${displaystyle w_{1}w_{2}=12}$

Die Zahlen 3 und 4 erfüllen dies, also

${Anzeigestil 0=4x^{2} 14x 12=(2x 3)(2x 4),}$

mit den Lösungen:

${displaystyle x=-{ frac {3}{2}}}$ und ${Anzeigestil x=-2.}$

Kompliziertere Fälle

Es ist nicht immer einfach, die Nullstellen eines Polynoms zweiten Grades mit der Summenproduktmethode zu finden. Verwenden Sie in solchen Fällen die abc-Formel um die Nullstellen zu finden.