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Schwamm von Menger

In dem Mathematik ist der Schwamm von Menger ein fraktalKurve. Es ist ein Universalkurve in dem Sinne, dass Mengers Schwamm a topologische Dimension hat einen und den jeder Kurve oder Anzahlhomöomorph ist zufällig Teilmenge von Mengers Schwamm. Die Konstruktion wird manchmal als die Schwamm von Menger-Sierpiński oder der Schwamm von Sierpinski erwähnt. Mengers Schwamm ist der dreidimensional Erweiterung der Kantorensammlung und der Teppich von Sierpiński. Mengers Schwamm wurde eingeführt in 1926 zuerst beschrieben von der österreichischMathematikerKarl Menger im Rahmen seiner Grundlagenforschung zum Konzept der topologische Dimension.

Konstruktion

Der Bau eines Menger-Schwamms verläuft in folgenden Schritten:

1. Beginnen Sie mit einem Würfel, (Bild 1)
2. Teilen Sie jede Seite dieses Würfels in 9 Quadrate. Dadurch wird der Würfel in 27 kleinere Würfel unterteilt.
3. Entfernen Sie den Würfel in der Mitte jeder Seite, entfernen Sie auch den Würfel in der Mitte, insgesamt werden sieben Würfel entfernt und es bleiben 20 übrig (siehe das zweite bild). Dies ist Mengers Level-1-Schwamm.
4. Wiederholen Sie die Schritte 1 bis 3 für jeden der verbleibenden kleineren Würfel.

Eine zweite Wiederholung ergibt einen Schwamm der Stufe 2 (siehe drittes Bild), die dritte Wiederholung ist ein Schwamm der Stufe 3 (siehe viertes Bild) und so weiter. Der Mengers Schwamm sollte als Grenze dieses Prozesses gesehen werden nach a unendlich Anzahl der Wiederholungen (Iterationen).

Die Anzahl der Würfel erhöht sich um 20^nein, in welchem nein stellt die Anzahl der Iterationen dar, die auf den ersten Würfel angewendet werden.

Auf der ersten Ebene werden keine Iterationen durchgeführt (20⁰ = 1).

Eigenschaften

Eine Illustration von , M₄, die vierte Iteration des Konstruktionsprozesses

Jede Seite von Mengers Schwamm ist a Teppich von Sierpiński; ferner jeder Schnittpunkt von Mengers Schwamm mit einer Diagonale oder einem Medium des anfänglichen cubeku ich₀ ein Kantorensammlung.

Würden die obigen Schritte bis ins Unendliche durchgeführt, hätte der Schwamm eine unendlich große Oberfläche und würde ein Volumen von Null einschließen. Der Schwamm hat a Hausdorff-Dimension von etwa 2,726833 ((ln 20)/(ln 3)).

Formale Definition

Formal kann ein Menger-Schwamm definiert werden als:

${displaystyle ,M:= igcap _{nin mathbb {N} }M_{n}}$

wahr ich₀ entspricht dem Einheitswürfel und

${displaystyle ,M_{n 1}:=left{{ egin{matrix}(x,y,z)in mathbb {R} ^{3}:&{ egin{matrix}existiert i,j,kin {0,1 ,2}:(3x-i,3y-j,3z-k)in M_{n}/{mbox{und höchstens einer der }}i,j,k{mbox{ entspricht 1}}end{ Matrix} }Ende{Matrix}}Nacht}.}$

Verweise

• (und) Karl Menger, Allgemeine Räume und kartesische Räume, (1926) Comm. an die Amsterdamer Akademie der Wissenschaften. Die englische Übersetzung wurde neu aufgelegt in Klassiker über Fraktale, Gerald A. Edgar, Herausgeber, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
• (und) Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B. G. Teubner Verlag, Leipzig.

Siehe auch

• Dreieck von Sierpiński

Externe Links

Gemeingüter hat Mediendateien in der Kategorie Menger Schwämme.

• Ein interaktiver Menger-Schwamm
• fraktale Polyeder (VRML) und interaktive Java-Modelle
• Puzzle-Jagd — Video, das Zenos Paradoxien mit dem Menger-Sierpinski-Schwamm erklärt
• Das Visitenkarten-Menger-Schwamm-Projekt
• Mischerschwammbaugruppe Bau eines Level-3 Menger Schwamms aus Visitenkarten
• Mengermania — Bau eines Level-4-Menger-Schwamms aus Karteikarten mit detaillierten Status-Updates
• Menger Schwamm Animationen — Menger Sponge Animations bis Level 9, Diskussion der Optimierung für 3D.
• L3 Menger Schwamm mit Visitenkarten 2006 - Ein L3 Menger Schwamm von Studenten des Cornell College aus dem Jahr 2006
• Level 3 Menger Schwamm aus Visitenkarten - Ein Level-3-Menger-Schwamm, der von Studenten der Mississippi State University aus 48.000 gefalteten Visitenkarten gebaut wurde.