WikiDer > Звездный многоугольник

Star polygon
Два типа звездных пятиугольников
Alfkors.svg
{5/2}
Stjärna.svg
|5/2|
Обычная звезда пятиугольник, {5/2}, имеет пять угловых вершин и пересекающихся ребер, а вогнутые десятиугольник, | 5/2 |, имеет десять ребер и два набора по пять вершин. Первые используются в определениях звездные многогранники и звезда однородные мозаики, а вторые иногда используются в плоских мозаиках.
Малый звездчатый додекаэдр.png
Малый звездчатый додекаэдр
Кеплер Десятиугольник Пентаграмма Пентаграмма tiling.png
Мозаика

В геометрия, а звездный многоугольник это тип не-выпуклый многоугольник. Только правильные звездчатые многоугольники были изучены на любой глубине; звездные многоугольники в целом не были определены формально, однако некоторые известные может возникнуть в результате операций усечения на правильных простых и звездообразных многоугольниках.

Бранко Грюнбаум идентифицировал два основных определения, используемых Иоганн Кеплер, один из правильные звездчатые многоугольники с пересекающиеся края которые не образуют новых вершин, а второй является простым изотоксическим вогнутые многоугольники.[1]

Первое использование включено в полиграммы который включает многоугольники, такие как пентаграмма но и составные фигуры, такие как гексаграмма.

Этимология

Имена звездообразных многоугольников объединяют цифровой префикс, Такие как пента-, с Греческий суффикс -грамма (в этом случае генерируя слово пентаграмма). Префикс обычно греческий кардинал, но существуют синонимы, использующие другие префиксы. Например, девятиконечный многоугольник или эннеаграмма также известен как нонаграмма, с использованием порядковый нона из латинский.[нужна цитата] В -грамма суффикс происходит от γραμμή (граммḗ) означает строку.[2]

Правильный звездный многоугольник

Правильный звездообразный многоугольник 5-2.svg
{5/2}
Правильный звездообразный многоугольник 7-2.svg
{7/2}
Правильный звездообразный многоугольник 7-3.svg
{7/3}...
Правильные выпуклые и звездчатые многоугольники с 3–12 вершинами, помеченные символами Шлефли.

"Правильный звездный многоугольник" - это самопересекающийся равносторонний равносторонний многоугольник.

Правильный звездный многоугольник обозначается Символ Шлефли {п/q}, куда п (количество вершин) и qплотность) находятся относительно простой (у них нет общих факторов) и q ≥ 2.

В группа симметрии из {п/k} является группа диэдра Dп порядка 2п, независим от k.

Правильные звездные многоугольники впервые были систематически изучены Томас Брэдвардин, и позже Иоганн Кеплер.[3]

Построение через вершинное соединение

Правильные звездчатые многоугольники можно создать, соединив один вершина простого, обычного, п-сторонний многоугольник на другую несмежную вершину и продолжение процесса до тех пор, пока исходная вершина не будет достигнута снова.[4] Альтернативно для целых чисел п и q, его можно считать построенным путем соединения каждого qй пункт из п точки, расположенные равномерно по кругу.[5] Например, в правильном пятиугольнике пятиконечную звезду можно получить, проведя линию от первой к третьей вершине, от третьей вершины к пятой вершине, от пятой вершины ко второй вершине, от второй вершины. к четвертой вершине и от четвертой вершины к первой вершине.

Если q больше половины п, то построение приведет к тому же многоугольнику, что и п-q; соединение каждой третьей вершины пятиугольника даст тот же результат, что и соединение каждой второй вершины. Однако вершины будут достигнуты в противоположном направлении, что имеет значение, когда ретроградные многоугольники включаются в многогранники более высокой размерности. Например, антипризма сформированный из прямой пентаграммы {5/2} приводит к пентаграммическая антипризма; аналогичная конструкция из ретроградной «скрещенной пентаграммы» {5/3} приводит к пентаграмматическая скрещенная антипризма. Другой пример - тетрагемигексаэдр, который можно увидеть как "перекрещенный треугольник" {3/2} куплоид.

Вырожденные правильные звездообразные многоугольники

Если п и q не взаимно просты, получится вырожденный многоугольник с совпадающими вершинами и ребрами. Например, {6/2} будет отображаться как треугольник, но его можно пометить двумя наборами вершин 1–6. Это следует рассматривать не как два перекрывающихся треугольника, а как двойную намотку одного уникурсального шестиугольника.[6][7]

Дважды намотанный шестиугольник.png

Строительство через звёздчатую форму

В качестве альтернативы, правильный многоугольник звезды также может быть получен как последовательность звёздчатые выпуклой регулярной основной многоугольник. Конструкции, основанные на звездчатости, также позволяют получать правильные многоугольные соединения в тех случаях, когда плотность и количество вершин не являются взаимно простыми. Однако при построении звездчатых многоугольников из звездчатых, если q больше, чем п/ 2, вместо этого линии будут бесконечно расходиться, и если q равно п/ 2, линии будут параллельны, и в результате обе линии больше не будут пересекаться в евклидовом пространстве. Однако можно построить несколько таких многоугольников в сферическом пространстве, аналогично моногон и Digon; такие многоугольники еще не изучены подробно.

Простые изотоксические звездчатые многоугольники

Когда пересекающиеся линии удаляются, многоугольники звезды перестают быть правильными, но их можно рассматривать как просто вогнутый изотоксальный 2п-угольники, чередующиеся вершины на двух разных радиусах, которые не обязательно должны совпадать с углами правильного звездного многоугольника. Бранко Грюнбаум в Плитки и узоры представляет эти звезды как |п/d| которые соответствуют геометрии полиграмма {n / d} с обозначением {nα} в более общем смысле, представляя n-стороннюю звезду с каждым внутренний угол α <180 ° (1-2 /п) градусов.[1] Для |п/d| внутренние вершины имеют внешний угол β, равный 360 ° (d-1)/п.

Примеры простых изотоксальных звезд
| н / д |
{пα}
 
{330°}
 
{630°}
|5/2|
{536°}
 
{445°}
|8/3|
{845°}
|6/2|
{660°}
 
{572°}
α30°36°45°60°72°
β150°90°72°135°90°120°144°
Изотоксал
звезда
Изотоксальный звездообразный треугольник 12-5.svgИзотоксальная звезда шестиугольник 12-5.pngStjärna.svgИзотоксальная квадратная звезда 8-3.svgВосьмиугольная звезда.pngРундел Израиля - Малая видимость - Тип 2.svgWide pentagram.png
Связанный
полиграмма
 
{н / д}
 
Правильный звездообразный многоугольник 12-5.svg
{12/5}
Alfkors.svg
{5/2}
Правильный звездообразный многоугольник 8-3.svg
{8/3}
Hexagram.svg
2{3}
Фигура звезды
Декаграмма 10 3.png
{10/3}

Примеры в мозаиках

Эти многоугольники часто встречаются в мозаичных узорах. Параметрический угол α (градусы или радианы) можно выбрать для соответствия внутренние углы соседних полигонов в мозаичном шаблоне. Иоганн Кеплер в его работе 1619 года Harmonices Mundi, включая, среди прочего, мозаики периодов, непериодические мозаики, подобные этим, три правильных пятиугольника и правильный пятиугольник звезды (5.5.5.5/2), которые могут уместиться вокруг вершины, и связанные с современными мозаики пенроуза.[8]

Пример мозаики с изотоксальными звездчатыми многоугольниками[9]
Звездные треугольникиЗвездные квадратыЗвездные шестиугольникиЗвездные восьмиугольники
Треугольник и треугольная звезда tiling.png
(3.3*
α
.3.3**
α
)
Восьмиугольник звездный квадрат мозаика.png
(8.4*
π / 4
.8.4*
π / 4
)
Гексаграмма шестиугольника tiling.png
(6.6*
π / 3
.6.6*
π / 3
)
Круглый усеченный шестиугольник tiling2.png
(3.6*
π / 3
.6**
π / 3
)
Трехгранная мозаика stars.png
(3.6.6*
π / 3
.6)
Шестиугольная гексаграмма tiling2.png
Не от края до края

Интерьеры

Внутреннее пространство звездного многоугольника можно рассматривать по-разному. Для пентаграммы показаны три таких лечения. Бранко Грунбаум и Джеффри Шепард рассматривают два из них, как правильные звездные многоугольники и вогнутую изогональную 2п-угольники.[8]

Пентаграмма интерпретации.svg

К ним относятся:

  • При наличии стороны одна сторона рассматривается как внешняя, а другая как внутренняя. Это показано на левой иллюстрации и обычно встречается в компьютерах. векторная графика рендеринг.
  • Количество витков полигональной кривой вокруг данной области определяет ее плотность. Внешний вид имеет плотность 0, и любая область с плотностью> 0 считается внутренней. Это показано на центральной иллюстрации и обычно встречается при математической обработке многогранники. (Однако для неориентируемых многогранников плотность можно рассматривать только по модулю 2, и поэтому в этих случаях для согласованности иногда используется первая обработка.)
  • Если линия может быть проведена между двумя сторонами, область, в которой она находится, рассматривается как внутри фигуры. Это показано на рисунке справа и обычно происходит при создании физической модели.

Когда вычисляется площадь многоугольника, каждый из этих подходов дает различный ответ.

В искусстве и культуре

Звездные многоугольники занимают важное место в искусстве и культуре. Такие многоугольники могут быть, а могут и не быть обычный но они всегда очень симметричный. Примеры включают:

Octagram.svg
{8/3} октаграмма построен в обычном восьмиугольник
Печать Соломона (Простая версия) .svg
Печать Соломона с кругом и точками (звездочка)

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Грюнбаум и Шепард 1987, раздел 2.5
  2. ^ γραμμή, Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон, на Персее
  3. ^ Кокстер, Введение в геометрию, второе издание, 2.8 Звездные многоугольники стр.36-38
  4. ^ Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1973). Правильные многогранники. Courier Dover Publications. п.93. ISBN 978-0-486-61480-9.
  5. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Звездный Полигон». MathWorld.
  6. ^ Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Бранко Грюнбаум
  7. ^ Кокстер, Плотности правильных многогранников I, стр. 43: Если d нечетно, усечение многоугольника {p / q} естественным образом равно {2n / d}. Но если нет, то он состоит из двух совпадающих {n / (d / 2)}; два, потому что каждая сторона возникает из исходной стороны и один раз из исходной вершины. Таким образом, плотность многоугольника не изменяется при усечении.
  8. ^ а б Бранко Грунбаум и Джеффри Шепард, мозаики правильными многоугольниками, MathematicsMagazine 50 (1977), 227–247 и 51 (1978), 205–206]
  9. ^ Тайлинг с правильными звездчатыми многоугольниками, Джозеф Майерс
  • Cromwell, P .; Многогранники, CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2. Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5. п. 175
  • Грюнбаум, Б. и G.C. Шепард; Плитки и узоры, Нью-Йорк: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1.
  • Грюнбаум, Б.; Многогранники с полыми гранями, Протокол конференции НАТО-АСИ по многогранникам ... и т. Д. (Торонто, 1993 г.), под ред. Т. Бистрички и др., Kluwer Academic (1994), стр. 43–70.
  • Джон Х. Конвей, Хайди Берджель, Хаим Гудман-Штрасс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. с. 404: Правильные звездные многогранники размерности 2)
  • Бранко Грюнбаум, Метаморфозы полигонов, опубликовано в Светлая сторона математики: материалы конференции Мемориала Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории, (1994)