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Stelling van Green

Das Satz von Green Green ist ein Mathematiker Aussage, die eine Verbindung zwischen a . herstellt Schaltungsintegral über einen einzigen geschlossenen Kurve in zwei Maße und ein Doppelintegral über die Oberfläche von der Kurve umschlossen. Das Theorem, das insbesondere in der Physik, ist ein Sonderfall in zwei Dimensionen des Satz von Stokes.

Das Theorem ist nach den Briten benannt Physiker George Green

Gestell

wenn ${Anzeigestil P}$ und ${Anzeigestil Q}$ kontinuierlich Funktionen sind in einem normalen Bereich ${Anzeigestil D}$ die vollständig zu einer offenen Fläche in zwei Dimensionen mit kontinuierlichem . gehört partielle Ableitungen ${displaystyle {frac {teilweise P(x,y)}{teilweise y}}}$ und ${displaystyle {frac {teilweise Q(x,y)}{teilweise x}}}$ , und ${Anzeigestil D}$ wird durch eine stückweise glatte, einzelne geschlossene Kurve begrenzt ${Anzeigestil C}$ (durchgehen in gegen den Uhrzeigersinn)^[1]), dann gilt:

{displaystyle iint _{D}left({frac {partial Q(x,y)}{partial x}}-{frac {partial P(x,y)}{partial y}}ight),mathrm {d} x ,mathrm {d} y=oint _{C}{ ig (}P(x,y),mathrm {d} x Q(x,y),mathrm {d} y{ ig)}}

Beweise

Hier ist ein Beweis für den Fall ${Anzeigestil D}$ eine Fläche ist wie in der nebenstehenden Abbildung angegeben, also unten und oben von durchgehenden Kurven begrenzt ${Displaystil C_{1}}$ und ${Displaystil C_{3}}$ , und links und rechts durch gerade Linien ${Displaystil C_{2}}$ und ${Displaystil C_{4}}$ .

Beschreiben Sie das Gebiet durch:

{displaystyle D={(x,y)|aleq xleq b,g_{1}(x)leq yleq g_{2}(x)}}

,

in welchem ${displaystyle g_{1}}$ und ${displaystyle g_{2}}$ sind stetige Funktionen. Wir rechnen:

{displaystyle iint _{D}{frac {partial P}{partial y}}mathrm {d} xmathrm {d} y=int _{a}^{b}int _{g_{1}(x)}^{ g_{2}(x)}{frac {teilweise P}{teilweise y}} mathrm {d} ymathrm {d} x=}

{displaystyle =int _{a}^{b}{Groß {}P(x,g_{2}(x))-P(x,g_{1}(x)){Groß}},mathrm {d} X}

Für das Integral von ${Anzeigestil P}$ Über ${Anzeigestil C}$ wir finden:

{displaystyle int _{C}P,mathrm {d} x=int _{C_{1}}P,mathrm {d} x int _{C_{2}}P,mathrm {d} x int _{C_{ 3}}P,mathrm {d} x int _{C_{4}}P,mathrm {d} x=}

{displaystyle =-int _{a}^{b}P(x,g_{2}(x)),mathrm {d} x int _{a}^{b}P(x,g_{1}(x )), Mathematik {d} x}

Aus diesen beiden Ergebnissen folgt:

{displaystyle int _{C}P,mathrm {d} x=-iint _{D}{frac {partial P}{partial y}},mathrm {d} xmathrm {d} y}

Analog kann man ${Anzeigestil Q}$ folge daraus:

{displaystyle int _{C}Q,mathrm {d} y=iint _{D}{frac {partial Q}{partial x}},mathrm {d} xmathrm {d} y}

Der Satz folgt aus diesen letzten beiden.

Oberfläche

Mit ${Anzeigestil P=0}$ und ${Anzeigestil Q=x}$ und mit ${Anzeigestil P=-y}$ und ${Anzeigestil Q=0}$ wir bekommen für die Oberfläche ${Anzeigestil A}$ innerhalb der Kontur ${Anzeigestil C}$ (Gegen den Uhrzeigersinn gehen):