WikiDer > Satz von Midy

Das Satz von Midy ist eine Aussage der Zahlentheorie, benannt nach dem französischen Mathematiker Etienne Midy, das sie 1836 veröffentlichte.

Die Aussage sagt:

Wenn die Dezimalentwicklung eines nicht vereinfachenden Fraktur${displaystyle a/p}$ ein sich wiederholender Teil hat eine gerade Anzahl von Ziffern ${Displaystil 2n}$, dann ist die Summe der beiden Hälften dieses sich wiederholenden Teils gleich ${Displaystil 10^{n}-1}$ (eine Zahl mit nur Neunen), wenn:

• entweder ${displaystyle p}$ ist eine Primzahl;
• entweder ${displaystyle p}$ ist eine Potenz einer Primzahl;
• entweder größter gemeinsamer Teiler von ${displaystyle p}$ und ${Displaystil 10^{n}-1}$ gleich 1.

Beispiele

Die folgenden Brüche können nicht vereinfacht werden und haben eine gerade Anzahl sich wiederholender Teile.

5/13 = 0,384615384615...

mit sich wiederholendem Teil "384615" und zwar 384 615 = 999

2/17 = 0,117647058823529411764...

mit Wiederholungsteil "1176470588235294" und 11764705 88235294 = 99999999

2/77 = 0,0259740259740...

mit Wiederholungsteil "259740" und 259 740 = 999

Im letzteren Fall gilt der Satz, weil der größte gemeinsame Teiler von 77 und 1000−1=999 gleich 1 ist.

Der Satz in anderen Zahlensystemen

Der Satz gilt auch im Zahlensystem mit einem anderen Base: wenn der Bruch im Basiszahlensystem ${displaystyle b}$ hat einen sich wiederholenden Teil von gerader Länge, die Summe der beiden Hälften ist eine Zahl mit nur einem Vielfachen der Ziffer ${displaystyle b-1}$. So ist es Oktalsystem:

1/19 = 0,032745032745...₈

mit sich wiederholendem Abschnitt "032745"₈
und (oktal) 032₈ 745₈ = 777₈