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EIN sich wiederholender Bruch, ebenfalls wiederholter Dezimalbruch oder periodischer (dezimaler) Bruch, ist ein Fraktur was nicht wie ein echter ist Dezimalbruch geschrieben werden kann. Der Name bezieht sich darauf, dass im Bruch (dem Teil nach dem Komma) eine sich wiederholende Reihe von 1 oder mehr or Zahlen verhindert. Diese Ziffernreihe wird als sich wiederholender (oder periodischer) Teil bezeichnet.

Dass jeder Bruch endlich oder repetitiv ist, lässt sich daraus ableiten, dass bei a lange Division aber es gibt endlich viele Möglichkeiten für den Rest: 0 zum Nenner minus 1. Wenn der Rest an irgendeiner Stelle 0 wird, ist der Bruch ein endlicher Bruch. Wenn der Rest nie 0 wird, nach maximal dem Nenner minus 1 Stelle, ein Rest, der schon einmal aufgetreten ist. Dann wiederholt sich das Muster. Die Länge des sich wiederholenden Teils ist also höchstens der Nenner minus 1.

Beim normalen Schreiben ist der sich wiederholende Bruch gerundet, was bedeutet, dass nur eine bestimmte Anzahl von Stellen erfasst wird. 2/3 wird beispielsweise gerundet auf:

• 2 Dezimalstellen als 0,67
• 5 Dezimalstellen als 0.66667

Eine andere Schreibweise ist die, die zeigt, was der sich wiederholende Teil ist. Dies geschieht, indem eine Linie durch die erste Ziffer des sich wiederholenden Teils und durch die letzte gezogen wird.

${Anzeigestil 1/3=0{,}3!!!/}$

${displaystyle 11/35=0{,}31!!!/42857!!!/}$

Der sich wiederholende Teil ist zusätzlich mit einem Streifen versehen (de vinculum genannt, aus dem Lateinischen: vincio,- Krawatte, faszinieren) über oder unter den Zahlen:

${displaystyle 1/3=0{,}{overline {3}}}$

${displaystyle 11/35=0{,}3{overline {142857}}}$

${displaystyle 11/35=0{,}3{unterstreichen {142857}}}$

oder in Klammern setzen (gerade oder rund):

${Anzeigestil 1/3=0{,}[3]}$

${Displaystil 11/35=0{,}3[142857]}$

Andere Beispiele sind:

${displaystyle 2/3=0{,}{overline {6}}=0{,}666666ldots }$

${displaystyle 1/7=0{,}{overline {142857}}=0{,}14285714285714ldots }$

${displaystyle 7/30=0{,}2{overline {3}}=0{,}2333333ldots }$

Wie regulärer Bruch

Ein sich wiederholender Bruch kann auf folgende Weise wie ein regulärer Bruch sein (Zähler, Spielstand, Nenner) geschrieben sein.

Paar

${displaystyle x=0{,}123!!!/}$,

dann ist

${displaystyle 10x=1{,}23!!!/=1{,}233!!!/}$

So

${displaystyle 10x-x=1{,}233!!!/-0{,}123!!!/=1{,}11}$

(die sich wiederholenden Teile heben sich gegenseitig auf), so dass:

${Displaystil 9x=1{,}11}$

${displaystyle 900x=111}$

${Anzeigestil x=111/900=37/300}$

Besteht der sich wiederholende Teil aus mehr als 1, sagen wir 6 Ziffern, dann zieht man ${Anzeigestil x}$ ab von ${Anzeigestil 1.000.000,x}$, sodass der sich wiederholende Teil verschwindet.

Obiges kann auch wie folgt interpretiert werden:

Wenn der sich wiederholende Bruch nur aus einem sich wiederholenden Teil besteht, wird der Bruch als sich wiederholender Teil erhalten obtained ${Anzeigestil R}$ geteilt durch so viele Neunen, wie der sich wiederholende Teil Ziffern enthält.

zB: 0.123123123... wird 123/999 (der sich wiederholende Teil ist "123"; dreistellig, also durch 999 dividieren)

zB: 0.2222... wird 2/9

zB: 0.100310031003... wird 1003/9999

Gibt es auch ein Fixteil, dann muss etwas umgebaut werden.

zB: 0.3721903903...

Dazu schreibt man:

${displaystyle 0{,}3721903903ldots =0{,}3721 0{,}0000903903ldots =}$

${displaystyle =0{,}3721 {frac {0{,}903903ldots }{10000}}={frac {3721 0{,}903903ldots }{10000}}={frac {3721}{10000}} {frac {903 }{9990000}}}$

was vereinfacht werden kann zu 619697/1665000.

Als Grenze

Mathematisch kann ein sich wiederholender Bruch verstanden werden als a Serie, also wenn Grenze von Teilsummen. Zum Beispiel kann der Bruch 2/3 geschrieben werden als:

${displaystyle {frac {2}{3}}=0{,}6!!!/=0{,}6 0{,}06 0{,}006 ldots =6lim _{no infty }sum _{k= 1}^{n}10^{-k}=6sum _{k=1}^{infty}10^{-k}}$

und der Bruch 1/7 als:

${displaystyle {frac {1}{7}}=0{,}{overline {142857}}=0{,}142857 0{,}000000142857 0{,}000000000000142857 ldots =142857sum _{k=1}^{infty }10^{-6k}}$

Die vorkommenden Sequenzen sind geometrische Reihe, aus dem ein geschlossener Ausdruck berechnet werden kann, der den ursprünglichen Bruch zurückgibt.

Sich wiederholende Neunen

Ein Sonderfall sind sich wiederholende Frakturen mit einer sich wiederholenden 9. Eine solche Fraktur ermöglicht auch einen sich nicht wiederholenden Bandscheibenmodus. Ein sich wiederholender Bruch, der auf /9/ endet, kann als regulärer Bruch geschrieben werden, der mit einer Ziffer 1 endet, die größer ist als der sich nicht wiederholende Teil.

Bestimmtes:

${Displaystil 0{,}9!!!/=0{,}999ldots}$ (oder wenn Sie 0.999999999999999999999999999999999999... aber nicht enden wollen) = 1

Der Beweis folgt dem obigen Weg:

Sie ${Anzeigestil x=0,999...}$, dann ist:

${Anzeigestil 10x=9.999...}$

Daraus folgt:

${Anzeigestil 9x=10x-x=9.999...-0.999...=9}$,

So

${Anzeigestil x=1}$

Der sich wiederholende Bruch kann auch als geometrisches Serie, das heißt, wenn die Summe von a geometrische Folge.

${displaystyle 0{,}999...=sum _{n=1}^{infty }9left({frac {1}{10}}ight)^{n}}$

Mit der Summenformel für die geometrische Folge:

${displaystyle 0{,}999...=sum _{n=1}^{infty }9left({frac {1}{10}}ight)^{n}={frac {9}{10}} { frac {1}{1-{frac {1}{10}}}}={frac {frac {9}{10}}{frac {9}{10}}}=1}$

Andere Beispiele:

${Anzeigestil 0{,}239!!!/=0{,}24}$

${Anzeigestil 0{,}1459!!!/=0{,}146}$

Länge des sich wiederholenden Abschnitts

Die Anzahl der Stellen im sich wiederholenden Teil hängt nur vom Nenner des Bruchs ab. Angenommen, der Nenner ist ${Anzeigestil q}$, und der größter gemeinsamer Teiler${displaystyle mathrm {ggd} (q,10)=1}$, dann ist die Länge des sich wiederholenden Teils durch den kleinsten Exponenten gegeben ${Anzeigestil x}$ Wofür ${displaystyle 10^{x}{pmod {q}}=1}$.

Beispiel für Nenner 693:

• 10³ mod 693 = 307
• 10⁴ mod 693 = 298
• 10⁵ mod 693 = 208
• 10⁶ mod 693 = 1

So haben sich wiederholende Brüche mit 693 als Nenner einen sich wiederholenden Teil von sechs Ziffern; beispielsweise:

${displaystyle 311/693=0{,}{overline {448773}}}$

Aus dem Vorstehenden ergeben sich folgende Längen des sich wiederholenden Teils:

• 1 zu den Nennern 3, 9
• 2 durch den Nenner 11
• 3 bei den Nennern 27, 37
• 4 durch den Nenner 101
• 5 bei den Nennern 41, 271
• 6 zu den Nennern 7, 13

Denn 693 = 7 × 9 × 11 und das Primfaktoren (oder Potenzen davon) voneinander unteilbar sind, ist die Länge des sich wiederholenden Abschnitts am Nenner 693 die kleinstes gemeinsames Vielfaches von 1, 2 und 6, ist 6, wie bereits oben festgestellt.

Siehe auch

• Satz von Midy

Externe Links

• (und) Fred Richman - Ist 0,999... = 1?
• Mathematik 123 - Entwicklung von 0,999...