WikiDer > Größter gemeinsamer Teiler

Das größter gemeinsamer Teiler oder größter gemeinsamer Teiler (common ist ein älterer Begriff für Common^[1]), abgekürzt zu gcd, von einigen ganze Zahlen (von denen mindestens einer ungleich ist 0) ist der grösste positiv integer, wobei alle diese ganzen Zahlen durchlaufen geteilt kann ohne a gemacht werden sich ausruhen Überreste. Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 8 und 12 ist beispielsweise 4. Der größte gemeinsame Teiler wird manchmal als Funktion . geschrieben ${Displaystyle-Operatorname {ggd} (Punkte).}$

Beispiele

• Der größte gemeinsame Teiler von 6 und 12 ist die Zahl 6.

  6 ist die größte ganze Zahl, durch die 6 und 12 geteilt werden können.

• Der größte gemeinsame Teiler von 15 und 20 ist die Zahl 5; Notation

${displaystyle mathrm {ggd} (15,20)=5}$

• Der größte gemeinsame Teiler von 6, 9 und 12 ist 3; Notation

${displaystyle mathrm {ggd} (6,9,12)=3}$

Bereitstellung

Die obigen Beispiele sind einfach, aber bei größeren Zahlen ist nicht sofort klar, was die GCD ist. Zum Beispiel wird der gcd bestimmt, indem man beide Zahlen nimmt in Primfaktoren zerlegen. Das heißt, von beiden Zahlen wird bestimmt, durch welche Primzahlen Sie teilbar sein. Dabei wird nacheinander für jede Primzahl versucht, ob diese a Divisor ist. Ist eine Zahl mehrfach durch dieselbe Primzahl teilbar, wird sie gleich oft geschrieben.

Dann alles gemeinsam Primfaktoren miteinander multipliziert. Das Ergebnis ist die GCD. Ein Beispiel macht dies deutlich:

Die Zahl 24 ist durch die Primzahlen 2 und 3 teilbar, da 24 gleich 2 × 2 × 2 × 3 ist.

Die Zahl 204 ist durch die Primzahlen 2, 3 und 17 teilbar, nämlich 204 = 2 × 2 × 3 × 17.

Der größte gemeinsame Teiler von 24 und 204 ist also 2 × 2 × 3 = 12.

Ein effizienter Algorithmus (Berechnungsmethode) zur Bestimmung der GCD ist es Euklids Algorithmus. Bei großen Zahlen ist dieser Algorithmus der Faktorisierungsmethode vorzuziehen. Es ist (selbst für Computer) sehr schwierig, eine große Zahl zu faktorisieren, wenn diese Faktoren selbst ebenfalls große Zahlen sind.

Benutzen

Beim Vereinfachen von a Fraktur ist es sinnvoll, die gcd der zu haben Zähler und der Nenner zu entscheiden. Sowohl Zähler als auch Nenner können dann durch ihre GCD dividiert werden und man erhält so sofort die größtmögliche Vereinfachung. Der Bruch 24/204 wird somit vereinfacht zu (24/12)/(204/12) = 2/17. (Ein Bruchteil von zwei Zahlen, die relativ prim lässt sich nicht vereinfachen.)

Beispiel

Vereinfachen Sie 75/105.

75 = 3x5x5

105 = 3x5x7

Der gcd von 75 und 105 ist also 3x5 = 15.

Vereinfachung:

${displaystyle {frac {75}{105}}={frac {75/15}{105/15}}={frac {5}{7}}}$

Eigenschaften

Annehmen ${displaystyle d}$ die gcd ist von ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$. Dann gilt unter anderem für ${displaystyle d}$:

1. Jeder gemeinsame (gemeinsame) Teiler von ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ ist auch ein Teiler von ${displaystyle d}$.
2. ${displaystyle d}$ ist die kleinste positive Zahl was ausgedrückt werden kann als ${displaystyle xa yb}$ für bestimmte ganze Zahlen ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$. Sehen Sie es dafür Euklids erweiterter Algorithmus.

Relative Primzahl

Ein Zahlenpaar, dessen gcd gleich 1 ist, wird zu relativ prim erwähnt.

Produkt gcd und lcm von zwei Zahlen gleich Produkt

Es Produkt der GGD und der kleinstes gemeinsames Vielfaches von zwei positiven ganzen Zahlen ist gleich dem Produkt dieser beiden ganzen Zahlen selbst. Zum Beispiel für die Zahlen 15 und 20:

${displaystyle mathrm {ggd} (15,20) imes mathrm {kgf} (15,20)=5 imes 60=300=15 imes 20}$.

Größter gemeinsamer Teiler in verschiedenen Zahlensätzen

Nicht nur von wenigen natürliche Zahlen ein größter gemeinsamer Teiler kann bestimmt werden, auch von Elementen von a Hauptidealbereich. Dies folgt aus der folgenden Verallgemeinerung der Satz von Bachet-Bézout.
Sei R ein idealer Hauptbereich und ${displaystyle a_{1},dots ,a_{n}}$ Elemente aus R. Dann gibt es einen größten gemeinsamen Teiler ${displaystyle d}$ von ${displaystyle a_{1},dots ,a_{n}}$. Darüber hinaus gibt es Elemente ${Displaystil r_{1},Punkte,r_{n}}$ von R so dass

${displaystyle d=r_{1}a_{1} Punkte r_{n}a_{n}.}$

Der größte gemeinsame Teiler ist mit Ausnahme von Einheiten eindeutig: if ${Anzeigestil c}$ und ${displaystyle d}$ sind die größten gemeinsamen Teiler von ${displaystyle a_{1},dots ,a_{n}}$, dann gibt es a Einheit${displaystyle e}$ so dass ${displaystyle c=de}$.

In einem einzigartige Faktorisierungsdomäne man kann auch einen größten gemeinsamen Teiler mit der oben erwähnten Faktorisierungsmethode bestimmen.

Beispiele

• Die gcd zweier ganzer Zahlen kann nach obigem Theorem als ganzzahlige Linearkombination der beiden Zahlen geschrieben werden. Zum Beispiel für die Zahlen 75 und 105;

${displaystyle-Operatorname {ggd} (75,105)=15=3 imes 75-2 imes 105}$

weil ${displaystyle 7mal 75-5mal 105=0,}$ andere Kombinationen sind ebenfalls möglich; beispielsweise:

${displaystyle 15=10 imes 75-7 imes 105=-4 imes 75 3 imes 105}$

• Die Verallgemeinerung beinhaltet die gcd von Mehr als zwei Zahlen. Für die Nummern 18, 60 und 72 gilt:

${Display-Operatorname {ggd} (18,60,72)=6=18 60-72=3 imes 18 4 imes 60-4 imes 72.}$