WikiDer > Taylors Theorem

Das Taylors Theorem, im 1715 formuliert von Brook Taylor, gibt an, wie wir a . verwenden Funktion in der Nähe eines Punktes mittels a Polynom herankommen kann. Das Koeffizienten des Polynoms werden aus dem Derivate der zu diesem Zeitpunkt ermittelten Funktion.

Als eine Funktion ${displaystyle f}$ ist in einer Umgebung des Punktes ausreichend oft differenzierbar ${displaystyle x_{0},}$ kann der Funktionswert ${Anzeigestil f(x)}$ in einem Punkt ${Anzeigestil x}$ aus dieser Umgebung werden sukzessive durch die Polynome approximiert:

${Anzeigestil f(x_{0}),}$

${displaystyle f(x_{0}) f'(x_{0})(x-x_{0}),}$

${displaystyle f(x_{0}) f'(x_{0})(x-x_{0}) { frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0}) )^{2}}$

und so weiter:

${displaystyle f(x_{0}) f'(x_{0})(x-x_{0}) { frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0}) )^{2} ldots { frac {1}{n!}}f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}=}$

${displaystyle =sum _{k=0}^{n}{ frac {1}{k!}}f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^{k}}$

Dieser letzte Summe heißt der ${displaystyle n}$-das Taylor-Polynom von ${displaystyle f}$ im ${displaystyle x_{0}}$. Der Unterschied zwischen ${Anzeigestil f(x)}$ und die ungefähre ${displaystyle n}$-Das Taylor-Polynom heißt Restterm. Der Satz von Taylor macht eine Aussage über die Genauigkeit der Approximation, indem er den Restterm abschätzt.

Das Theorem gibt es in verschiedenen Versionen mit mehr oder weniger strengeren Bedingungen und unterschiedlichen Formen des Restterms.

Gestell

Die einfachste Form des Theorems ist die folgende. Lassen Sie die Funktion ${displaystyle f:mathbb {R} oder mathbb {R}}$${displaystyle n}$ mal im Punkt differenzierbar sein ${displaystyle x_{0}}$. Dann gibt es eine Funktion ${displaystyle h_{n}:mathbb {R} oder mathbb {R} }$ so dass

${displaystyle lim _{x o x_{0}}h_{n}(x)=0}$

und

${displaystyle f(x)-sum _{k=0}^{n}{ frac {1}{k!}}f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^ {k}=h_{n}(x)(x-x_{0})^{n}}$

Diese Form des Restterms wird Peano-Form genannt.

Unter stärkeren Regularitätsbedingungen gibt es andere Formen des Theorems mit expliziteren Ausdrücken für den Rest. Einer von ihnen ist der folgende.

wenn ${displaystyle f}$ ein ${displaystyle n1}$ mal ununterbrochen differenzierbar ist eine Funktion, d.h. differenzierbar mit kontinuierlichDerivat, im Intervall ${Anzeigestil [a,b],}$ ist für alle da ${Anzeigestil x_{0},xin(a,b)}$ eine Zahl ${Anzeigestil-Heta}$ zwischen ${displaystyle x_{0}}$ und ${Anzeigestil x,}$ so dass

${displaystyle R_{n}(x)=f(x)-Summe _{k=0}^{n}{frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x -x_{0})^{k}={frac {f^{(n 1)}(heta)}{(n 1)!}}(x-x_{0})^{n 1}}$

Der Satz lässt sich auch so formulieren, dass für jede Zahl ${displaystyle 0$ eine Zahl ${Anzeigestil-Heta}$ besteht, so dass die Restlaufzeit folgende allgemeine Form hat (Schlömilch-Restlaufzeit):

${displaystyle R_{n}(x)={frac {f^{(n 1)}(heta)}{pn!}}(x-heta)^{n 1-p}(x-x_{0}) ^{p}}$.

Vor dem ${Anzeigestil p=1}$ ist das der Rest von Cauchy:

${displaystyle R_{n}(x)={frac {f^{(n 1)}(heta)}{n!}}(x-heta)^{n}(x-x_{0})}$

Vor dem ${Anzeigestil p=n 1}$ ist dies der Restterm von im Theorem erwähnt? Lagrange.

Beweise

Das Theorem basiert auf der Anwendung des Mittelwertsatz zur Restlaufzeit:

${displaystyle R_{n}(x)=int limit _{x_{0}}^{x}{frac {(xt)^{n}}{n!}}f^{(n 1)}(t) Mathe {d} t}$.

Anwendung

In einigen Fällen und sicherlich in praktischen Berechnungen besteht eine Approximation einer Funktion (eines Wertes) aus einer endlichen Anzahl von Termen wie oben. Wenn die Funktion ${displaystyle f}$ hinreichend oft differenzierbar ist, gilt:

${displaystyle f(x)=sum _{k=0}^{n}{frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{ k} R_{n}(x),}$

in welchem ${displaystyle n}$ Auf diese Weise können Sie wählen, dass die Restlaufzeit ausreichend klein ist.

Beispiele

Ein Ansatz zu ${displaystyle e^{x}}$ erhält man durch in der obigen Formel ${displaystyle x_{0}=0}$ zu sagen und zu verwenden, dass die Ableitung von ${displaystyle e^{x}}$ ist sich selbst gleich, und für ${Anzeigestil x=0}$ gleich 1:

${displaystyle e^{x}ca. 1 x {frac {x^{2}}{2!}} {frac {x^{3}}{3!}} ldots {frac {x^{n}}{n !}}.}$

Ein solcher Ansatz funktioniert nicht für jede Funktion; der Funktion

${Anzeigestil f(x)=e^{-1/x^{2}}}$ vor dem ${displaystyle xeq 0}$ und ${Anzeigestil f(0)=0}$

sind alle Ableitungen null für ${Anzeigestil x=0.}$ Der Funktionswert ist vollständig im Restterm enthalten, was den Satz für diese Funktion unbrauchbar macht.

Siehe auch

• Taylor-Reihe