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Mittelwertsatz

Das Mittelwertsatz ist eine Aussage der Analyse, das seinen Ruhm seiner Verwendung als Hilfsmittel verdankt. Es kann sicher sein Ungleichheiten nachgewiesen werden. Der Satz nimmt verschiedene Formen an, aber die bekannteste ist die von Lagrange. Das Theorem wird mit der Satz von Rolle bewährt und ist stark auf dem Zwischenwertsatz verbunden. Der Mittelwertsatz wird manchmal als Zwischenwertsatz für Ableitungen bezeichnet.

Der Satz, der in der nebenstehenden Abbildung dargestellt ist, impliziert den einer Funktion, die auf ${Anzeigestil (a,b)}$ differenzierbar, der Graph muss an mindestens einer Stelle die gleiche Steigung haben wie die Verbindungslinie der Punkte ${Anzeigestil (a,f(a))}$ und ${Anzeigestil (b,f(b))}$, das heißt, die Derivat ist irgendwo gleich dem 'Durchschnittswert', die Änderung von ${displaystyle f}$ in diesem Intervall.

Gestell

Wenn die Funktion ${displaystyle f}$ vor dem ${Anzeigestil a$ entspricht den Anforderungen:

1. ${displaystyle f}$ ist kontinuierlich auf der geschlossenen Intervall${Anzeigestil [a,b]}$,
2. ${displaystyle f}$ ist differenzierbar im offenen Intervall ${Anzeigestil (a,b)}$

dann ist da einer ${Anzeigestil c}$ zwischen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ wofür:

${displaystyle f,'(c)={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

Das Satz von Rolle ist ein Spezialfall des Mittelwertsatzes für ${Anzeigestil f(b)=f(a)}$.

Beweise

Die Beweise stützen sich auf die Satz von Rolle. Definieren Sie die Funktion ${Anzeigestil F}$ durch:

${Anzeigestil F(x)=f(x)-{frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)}$,

dann reicht ${Anzeigestil F}$ zu den Bedingungen des Satzes von Rolle. Es gibt also ein ${Anzeigestil c}$ zwischen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$, für die:

${Anzeigestil F'(c)=f'(c)-{frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0}$

Daraus folgt die Aussage.

Cauchy Mittelwertsatz value

Es gibt eine allgemeine Form des Mittelwertsatzes, nämlich den Mittelwertsatz von Cauchy wird genannt. Diese Aussage besagt, dass wenn dat ${Anzeigestil a$ und die Funktionen ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ die Bedingungen erfüllen:

1. ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ sind auf dem geschlossenen Intervall stetig ${Anzeigestil [a,b]}$,
2. ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ sind im offenen Intervall differenzierbar ${Anzeigestil (a,b)}$
3. ${Displaystil g'(x)}$ ist im offenen Intervall von Null verschieden ${Anzeigestil (a,b)}$

es gibt eine nummer ${Anzeigestil c}$ existiert zwischen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ wofür:

${displaystyle {frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={frac {f'(c)}{g'(c)}}}$

Aus der dritten Bedingung und dem Satz von Rolle folgt das ${Anzeigestil g(b)-g(a)eq 0}$, weil sonst ${Anzeigestil g(d)=0}$ für eine gewisse ${displaystyle d}$ zwischen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$. Der Beweis ist weiter analog zum Mittelwertsatz, jetzt mit der Funktion

${Anzeigestil F(x)=f(x)-{frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}(g(x)-g(a))}$

Notiere dass der Taylors Theorem, deren Beweis ebenfalls auf dem Satz von Rolle mit einer geschickt gewählten Funktion beruht, kann auch als Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes betrachtet werden, nämlich über ${displaystyle n}$ Derivate.