WikiDer > Superellipsoid

Superellipsoïde

EIN Superellipsoid ist ein Körper der Revolution von a Super Ellipse wo die Rotation mittels einer anderen Superellipse statt mittels eines Kreises wie in einem klassischen Rotationsfeld erfolgt. Im letzteren Fall ist a Super Ei, was ein Spezialfall des Superellipsoids ist.

Gleichungen

Das Kartesische Gleichung der Oberfläche des Superellipsoids ist

{displaystyle left(left|{frac {x}{A}}ight|^{r} left|{frac {y}{B}}ight|^{r}ight)^{t/r} left|{frac {z}{C}}Nacht|^{t}=1}

wo die Parameter ${displaystyle t}$ und ${displaystyle r}$ positiv reale Nummern sein. Wenn diese Gleichung mit einem Ungleichungszeichen ( ${displaystyle leq }$ ) geschrieben wird, erhält man den vollständigen Körper, der von dieser Fläche begrenzt wird.Mögliche parametrische Gleichungen der Superellipse sind:

{displaystyle x(u,v)=Acleft(v,{frac {2}{t}}ight)cleft(u,{frac {2}{r}}ight)}

{displaystyle y(u,v)=Bcleft(v,{frac {2}{t}}ight)sleft(u,{frac {2}{r}}ight)}

{displaystyle z(u,v)=Csleft(v,{frac {2}{t}}ight)}

bei welchem ${displaystyle -pi$ und ${displaystyle -pi /2$ .

und wo

{displaystyle c(omega ,m)=Operatorname {sgn}(cos omega)|cos omega |^{m}}

{displaystyle s(omega ,m)=Operatorname {sgn}(sin omega)|sin omega |^{m}}

Dies besagt ${displaystyle sgn}$ für die Signum-Funktion.

Eine Superellipse drehte sich um eine andere Superellipse

Der Querschnitt mit einer horizontalen eben ${Displaystil z = z_{o}}$ ist ein Super Ellipse mit Vergleich

{displaystyle left|{frac {x}{A}}ight|^{r} left|{frac {y}{B}}ight|^{r} = left(1-left|{frac {z_{o}) }{C}}Nacht|^{t}Nacht)^{r/t}}

Beachten Sie, dass die rechte Seite konstant ist, sodass sie zu 1 gemacht werden kann, indem die aktuelle rechte Seite in die Potenzen der linken Seite gebracht wird, um die Gleichungsform einer verallgemeinerten Superellipse zu erfüllen, hier mit Exponent

{displaystyle r}

.

Der Schnitt mit einer vertikalen Ebene, die die Z-Achse enthält, ist ebenfalls eine Superellipse. Diese Ebene wird durch den Winkel . bestimmt ${Anzeigestil-Heta}$ das macht es mit der XZ-Ebene, so dass man die Substitutionen verwenden kann ${ displaystyle x = ucdot cos(heta)}$ und ${displaystyle y = ucdot sin(heta)}$ um in diesen Bereich zu kommen. Wenn diese Ausdrücke in die allgemeine kartesische Gleichung des Superellipsoids eingesetzt werden, erhalten wir:

{displaystyle left|{frac {u}{D}}ight|^{t} left|{frac {z}{C}}ight|^{t} = 1}

bei welchem

{displaystyle D = left(left|{frac {cos heta }{A}}ight|^{r} left|{frac {sin heta }{B}}ight|^{r}ight)^{-1/r }}

diese Größe

{Anzeigestil D}

konstant ist und somit in die Potenzen auf der linken Seite gebracht werden kann, so dass die Beziehung zwischen

{Anzeigestil u}

und

{Anzeigestil z}

erfüllt die Gleichungsform einer allgemeinen Superellipse, hier mit Exponent

{displaystyle t}

.

Symmetrien

In der allgemeinen kartesischen Gleichung kommen die drei Variablen ${Anzeigestil x}$ , ${Anzeigestil y}$ und ${Anzeigestil z}$ für innerhalb absoluter Werte. Dies bedeutet, dass sich die Gleichung nicht ändert, wenn ${Anzeigestil x}$ durch ${displaystyle -x}$ , ${Anzeigestil y}$ durch ${displaystyle -y}$ oder ${Anzeigestil z}$ durch ${displaystyle -z}$ ist ersetzt. Die Zahlen bleiben daher unter diesen Transformationen unverändert. Dies bedeutet, dass:

die Figur ist symmetrisch zu jeder Koordinatenebene, der XY-Ebene, der XZ-Ebene und der YZ-Ebene.
die Figur ist um jede Koordinatenachse, die X-Achse, die Y-Achse und die Z-Achse symmetrisch.
die Figur ist symmetrisch zum Achsenursprung.

Mögliche Formen

Superellipsoide für unterschiedliche Werte der Parameter e=2/r und n=2/t und mit gleichen Konstanten A, B und C. Die Figuren sind mit POV-Ray^[1]. Würfel, Zylinder, Kugel, Doppelkegel und Oktaeder sind Teil der Kollektion.

Die Superellipse kann je nach den gewählten Parameterwerten viele Formen annehmen ${displaystyle r}$ und ${displaystyle t}$ . Die Konstanten ${Anzeigestil A}$ , ${Anzeigestil B}$ und ${Anzeigestil C}$ die tatsächliche Form nicht beeinflussen. Sie können verwendet werden, um die Form in Richtung (jeweils) der X-Achse, der Y-Achse oder der Z-Achse zu komprimieren oder zu dehnen. Je größer eine solche Konstante ist, desto stärker gestreckt in die entsprechende Richtung X, Y oder Z. Um die Formen zu katalogisieren, kann man die beiden Parameter durch zwei andere ersetzen:

{displaystyle e = {frac {2}{r}}}

und

{displaystyle n = {frac {2}{t}}}

Dies ermöglicht Fälle, in denen ${displaystyle r}$ und/oder ${displaystyle t}$ unendlich groß werden einfach zu beschreiben denn dann werden ${displaystyle e}$ und/oder ${displaystyle n}$ Null. Die nebenstehende Abbildung, in der die Konstanten ${Anzeigestil A}$ , ${Anzeigestil B}$ und ${Anzeigestil C}$ gleich, verwendet diese alternativen Parameter. Die Parameterwerte für einige Sonderfälle sind:

Würfel: ${ Anzeigestil e=0; n=0}$
Zylinder: ${Anzeigestil e=1; n=0}$
Ambiente ${Anzeigestil e=1; n=1}$
Doppelkegel: ${Anzeigestil e=1; n=2}$
Oktaeder: ${Anzeigestil e=2; n=2}$ oder ${ Anzeigestil e=0; n=2}$
Zweizylinder: ${ Anzeigestil e=0; n=1}$ (Querschnitt von zwei gleichen Zylindern mit Achsen, die sich im rechten Winkel schneiden.)