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EIN Super Ei ist der Körper der Revolution von a Super Ellipse mit Exponent größer als 2 Runden sein lange Achse. Manchmal der Name Super Ei auch speziell für einen bestimmten Fall verwendet, nämlich das Super-Ei des dänischen Wissenschaftlers Piet Hein (siehe weiter unter Sonderfälle).

Gleichungen

Fünf Versionen des Super-Eies für verschiedene Werte des Parameters nein. Der Fall nein = 2 entspricht einer Rotationsellipse. Wie nein steigt, nähert sich die Form immer mehr der eines Zylinders an.

Das kartesische Gleichung einer Superellipse mit Exponent ${displaystyle n}$ ist:

${displaystyle left|{frac {x}{a}}ight|^{n}! links|{frac {y}{b}}acht|^{n}!=1}$

Spiele hier ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ die gleiche Rolle wie die halblange Achse und der halbkurze Achse von einem gewöhnlichen Ellipse und ist ${displaystyle alterq b}$.

Ein möglicher parametrische Gleichung bei welchem ${displaystyle tin[0.2pi ]}$ ist:

${displaystyle x(t)=acdot |cos(t)|^{2/n}cdot Operatorname {sgn}(cos(t))}$

${displaystyle y(t)=bcdot |sin(t)|^{2/n}cdot Operatorname {sgn}(sin(t))}$

bei welchem ${displaystyle-Operatorname {sgn} }$ das Signum-Funktion ist. Verwendung der Signum-Funktion in Verbindung mit dem absolute Werte ist notwendig, weil der Exponent ${displaystyle n}$ kann jeden realen positiven Wert annehmen. Wenn der Kosinus oder der Sinus selbst negativ sind, ist der Bereich des Parameters gegeben ${displaystyle t}$ kann, dann müsste eine reelle Potenz einer negativen Zahl berechnet werden, was unmöglich ist ${displaystyle(a,0)}$ erreicht um ${Anzeigestil t=0}$ und die Spitze ${Anzeigestil (-a,0)}$ Biene ${Anzeigestil t=pi}$.

In diesen Gleichungen ist die Superellipse horizontal. Die Längsachse liegt somit auf der X-Achse, die kurze Achse mit den Punkten ${displaystyle(0,b)}$ und ${displaystyle(0,-b)}$ auf der ja-Asche.

Für die Rotationsfläche, die beim Rotieren um die Längsachse entsteht (hier die X-as), gilt als kartesische Gleichung:

${displaystyle left|{frac {x}{a}}ight|^{n}! links|{frac {sqrt {y^{2} z^{2}}}{b}}ight|^{n}=1}$

und in Parameterform:

${displaystyle x(t) = acdot |cos(t)|^{2/n}cdot Operatorname {sgn}(cos(t))}$

${displaystyle y(t) = bcdot |sin(t)|^{2/n}cdot Operatorname {sgn}(sin(t))cdot cos(s)}$

${displaystyle z(t) = bcdot |sin(t)|^{2/n}cdot Operatorname {sgn}(sin(t))cdot sin(s)}$

Mit dem Parameter ${displaystyle tin[0.2pi ]}$ beschreibt die Superellipse, den Parameter ${displaystyle sin[0.2pi ]}$ beschreibt die Kreise auf der Rotationsfläche. Die Drehung erfolgt hier über Kreise. Geschieht dies über Superellipsen, entsteht ein Feld mit zwei Exponenten, einem für die gedrehte Superellipse und einem für die Superellipse, entlang derer die Drehung erfolgt. Ein solcher Körper heißt a Superellipsoid.

Symmetrien

Aufgrund des Vorhandenseins des Absolutwerts der Variablen ${Anzeigestil x}$ und die Quadrate bei ${Anzeigestil y}$ und ${Anzeigestil z}$ ist die kartesische Gleichung Ein bisschen in jeder der drei Variablen. Die Figur ist also invariant, wenn ${Anzeigestil x}$ durch ${displaystyle -x}$, ${Anzeigestil y}$ durch ${displaystyle -y}$ oder ${Anzeigestil z}$ durch ${displaystyle -z}$ ist ersetzt. Die Figur ist daher symmetrisch in:

• jede Koordinatenachse: X-Asche, ja-Asche, z-Asche;
• jede Koordinatenebene: xy-eben, xz-eben, yz-eben;
• der Ursprung: der Punkt (0,0,0);
• jedes Flugzeug, das X-Achse enthält: ${Anzeigestil Acdot y Bcdot z=0}$ mit ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ nicht gleich null. Diese Symmetrie ist darauf zurückzuführen, dass ein Superei einen Rotationskörper um den X-wie es ist.

Die Krümmung in einem Top

Das Gaußsche Krümmung einer Superellipse mit ${Anzeigestil n>2}$ ist in seinen Spitzen null. Dadurch ist der Rotationskörper an diesen Stellen ausreichend flach, damit das Super-Ei aufrecht stehen kann, ohne dass es umfällt. Dies lässt sich wie folgt demonstrieren.

Die Gaußsche Krümmung an einem Punkt auf einer Fläche ist das Produkt von Kopfbeugen an diesem Punkt. Die Hauptkrümmungen sind die Maximal- und Minimalwerte der Krümmungen aller möglichen flache Kurven erzeugt durch Schnitt der Fläche mit einer Ebene, die durch den gegebenen Punkt geht und die enthält normaler Vektor enthält in diesem Punkt. Da der Scheitel, in dem wir die Gaußsche Krümmung bestimmen wollen, auf der Rotationsachse des Rotationskörpers liegt, haben alle möglichen ebenen Kurven genau die gleiche Form, nämlich die Form der Superellipse, aus der das Superei entsteht. Es genügt daher, die Krümmung der Superellipse an ihrem Scheitel auf der Rotationsachse zu bestimmen. Da alle möglichen Krümmungen gleich sind, sind auch Maximum und Minimum gleich. Wir zeigen nun, dass die Krümmung der Superellipse dort null ist. Folglich ist auch die Gaußsche Krümmung am Superei gleich Null.

Aufgrund der Symmetrie in beiden X-Achse als ja-Achse kann man sich bei dieser Herleitung auf den ersten Quadranten beschränken und folglich die Faktoren mit der Signumfunktion weglassen Die parametrischen Gleichungen der Superellipse mit Exponent ${displaystyle n}$ sind dann:

${displaystyle x(t) = acdot cos ^{p}(t)}$

${displaystyle y(t) = bcdot sin ^{p}(t)}$

bei welchem ${Anzeigestil p = 2/n}$.

Aus der Beziehung zwischen ${displaystyle p}$ und ${displaystyle n}$ folgt daraus, wenn ${Anzeigestil n>2}$ ist dann ${Anzeigestil p<1}$ sollte sein. Der erste und zweite Derivate dieser Ausdrücke sind:

• ${displaystyle x'(t) = -acdot pcdot cos ^{p-1}(t)cdot sin(t)}$

${displaystyle y'(t) = bcdot pcdot sin ^{p-1}(t)cdot cos(t)}$

• ${displaystyle x''(t) = acdot pcdot (p-1)cdot cos ^{p-2}(t)cdot sin ^{2}(t)-acdot pcdot cos ^{p}(t)}$

${displaystyle y''(t) = bcdot pcdot (p-1)cdot sin ^{p-2}(t)cdot cos ^{2}(t)-bcdot pcdot sin ^{p}(t)}$

Das Krümmung${displaystyle kappa}$ einer Parameterfunktion ist gegeben durch:

${displaystyle kappa = {frac {x'cdot y''-y'cdot x''}{left((x')^{2} (y')^{2}ight)^{3/2}}} }$

Mit den berechneten Ableitungen wird der Zähler ${Anzeigestil T}$ dieses Ausdrucks nach Vereinfachung:

${displaystyle T = acdot bcdot p^{2}cdot (p-1)cdot cos ^{p-1}(t)cdot sin ^{p-1}(t)}$

der Nenner ${Displaystil N}$ lässt sich vereinfacht schreiben als:

${displaystyle N = p^{3}cdot {frac {left(a^{2}cdot sin ^{4-2p}(t) b^{2}cdot cos ^{4-2p}(t)ight)^ {3/2}}{cos ^{3-3p}(t)cdot sin ^{3-3p}(t)}}}$

Die Krümmung ist also:

${displaystyle kappa = {frac {T}{N}} = {frac {acdot bcdot (2-p)}{p}}cdot {frac {cos ^{2-2p}(t)cdot sin ^{2-2p }(t)}{left(a^{2}cdot sin ^{4-2p}(t) b^{2}cdot cos ^{4-2p}(t)ight)^{3/2}}} }$

Der Parameterwert ${displaystyle t}$ oben ${displaystyle(a,0)}$ gleich Null. Wird dieser Wert in diesem Ausdruck für die Krümmung eingetragen, findet man Null. Der Sinusterm im Zähler wird dann Null, weil ${Anzeigestil p<1}$, und folglich . is ${Anzeigestil 2-2p>0}$. Und dann ist auch die Gaußsche Krümmung im oberen Teil des Supereis Null. Mit anderen Worten, ein Superei kann an diesem Punkt stabil aufrecht stehen.

Sonderfälle

Piet Heins Super-Ei im dänisch Platz farum

Beispiele für die meisten der hier aufgeführten Fälle finden Sie in der Abbildung oben.

• ${Anzeigestil 0$ : für diese Werte ist es super Ei konkav.
• ${Anzeigestil n=1}$ : zwei kongruente Kegel, die mit ihren Basen gegeneinander platziert sind.
• ${displaystyle ngeq 1}$ : für diese Werte ist es super Ei konvex.
• ${Anzeigestil n=2}$ : eine reine Rotationsellipse.
• ${Anzeigestil n=2{,}5}$ : zusammen mit ${displaystyle { frac {b}{a}}={ frac {3}{4}}}$ Das Ergebnis ist das Super-Ei von Piet Hein. gesehen ${Anzeigestil n>2}$ kann dieses super ei stabil aufrecht stehen. In der dänischen Gemeinde Skjern Es gibt auch ein Super-Ei, vier Meter hoch, an einem Verkehrskreisel.^[1]
• ${displaystyle nightarrow infty }$ : mit dieser Grenze, a Zylinder erhalten.

Nüsse