WikiDer > Tangentenregel

Dreieck-Standardbenennung

Das Tangentenregel ist eine Aussage der Trigonometrie die besagt, dass in jedem Dreieck im Flugzeug mit Seiten ${Anzeigestil a, b}$ und ${Anzeigestil c}$, bzw. die entgegengesetzten Winkel α , β und γ zählt das:

${displaystyle {frac {a-b}{a b}}={frac { an { frac {1}{2}}(alpha - eta)}{ an { frac {1}{2}}(alpha eta)}}}$

Weil:

${displaystyle an { frac {1}{2}}(alpha eta )= an { frac {1}{2}}(180^{circ }-gamma )= an(90^{circ }-{ frac {1} {2}}gamma )=Kinderbett { frac {1}{2}}gamma }$

Die Tangentenregel kann auch geschrieben werden als:

${displaystyle {frac {a-b}{a b}}={frac { an { frac {1}{2}}(alpha - eta)}{cot {frac {1}{2}}gamma }}}$

Beweise

Laut der Sinusregel ist:

${displaystyle {frac {a}{sin alpha}}={frac {b}{sin eta}}=k;(keq 0)}$

So: ${displaystyle a=kcdot sin alpha }$ und ${displaystyle b=kcdot sin eta }$, wodurch:

${displaystyle {frac {a-b}{a b}}={frac {kcdot sin alpha -kcdot sin eta }{kcdot sin alpha kcdot sin eta }}={frac {sin alpha -sin eta }{sin alpha sin eta }}}$

Die Summen-/Differenzregel für Nebenhöhlen (siehe Regeln von Simson) lautet:

${displaystyle sin alpha pm sin eta = 2sin { frac {1}{2}}(alpha pm eta )cdot cos { frac {1}{2}}(alpha mp eta )}$

Und damit dann:

${displaystyle {frac {ab}{ab}}={frac {sin {frac {1}{2}}(alpha - eta)cdot cos {frac {1}{2}}(alpha eta)}{sin {frac {1}{2}}(alpha eta)cdot cos { frac {1}{2}}(alpha - eta)}}={frac {sin { frac {1}{2}}(alpha - eta)}{ cos { frac {1}{2}}(alpha - eta )}}:{frac {sin { frac {1}{2}}(alpha eta)}{cos { frac {1}{2}}(alpha eta )}}}$

Also das in der Tat:

${displaystyle {frac {a-b}{a b}}={frac { an { frac {1}{2}}(alpha - eta)}{ an { frac {1}{2}}(alpha eta)}}}$

Siehe auch

• Sinusregel
• Kosinusregel
• Tangente und Kotangens
• Mollweide Formeln
• Liste der trigonometrischen Gleichungen