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Goniometrie

Trigonometrischer Kreis mit entsprechender Bezeichnung des Sinus und Cosinus eines Winkels α.

Trigonometrischer Kreis mit der entsprechenden Bezeichnung des Sinus und Cosinus eines Winkels α.

Sinus und Cosinus auf dem trigonometrischen Kreis.

Der trigonometrische Kreis.

Trigonometrie, Trigonometrie (Altgriechisch: (Reise), drei, (gōnia), Winkel und μετρεῖν (Metrozug), messen) oder Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik was beschäftigt sich mit Dreiecke und insbesondere das ursprünglich dreiecksbasierte trigonometrische Funktionen wie Sinus (Sünde), Kosinus (cos) und Tangente (bräunen). Dies ist ein grundlegendes Thema der ebene Geometrie, da alle anderen von geraden Linien eingeschlossenen Formen aus Dreiecken konstruiert werden können.

Trigonometrie hat viele Anwendungen, auch in der Triangulation.

Der trigonometrische Kreis

EIN trigonometrischer Kreis oder Einheitskreis ist ein Kreis, der um den Ursprung des zentriert ist Koordinatensystem und einem Radius der Länge 1. Der Vorschubradius zu einem Punkt P auf dem Kreis bildet einen Winkel ${displaystyle alpha }$ mit dem ${Anzeigestil x}$ -Asche. Der Sinus dieses Winkels, ${displaystyle sin(alpha)}$ , ist gleich dem ${Anzeigestil y}$ -Koordinate des Punktes P. Der Kosinus des Winkels, ${Anzeigestil cos(alpha)}$ , ist gleich dem ${Anzeigestil x}$ -Koordinate des Punktes P. Daraus folgt, dass der Kosinus von ${displaystyle alpha }$ ist gleich dem Sinus von ergänzen von ${displaystyle alpha }$ , was den Namen Kosinus ("komplementärer Sinus" oder "komplementärer Sinus") erklärt.

Wenn Punkt P den Kreis durchquert, werden die Werte von ${Anzeigestil cos(alpha)}$ und ${displaystyle sin(alpha)}$ Durchlaufen Sie die Werte aus dem Intervall [−1,1].

Auch andere trigonometrische Zahlen nehmen auf dem Einheitskreis eine geometrische Bedeutung an. Der Tangens, meist arithmetisch als Quotient von Sinus und Cosinus definiert, ist auch gleich dem ${Anzeigestil y}$ -Koordinate des Schnittpunkts des Vorschubstrahls mit der rechten vertikalen Tangente an den Kreis ( ${Anzeigestil x=1}$ ). Der Kotangens ist gleich dem Kehrwert des Tangens, aber auch der ${Anzeigestil x}$ -Koordinate des Schnittpunkts des Vorschubbalkens mit der oberen horizontalen Tangente an den Kreis ( ${Anzeigestil y=1}$ ). Ähnliche Konstruktionen ergeben den Sekant (den Kehrwert des Kosinus) und den Kosekans (den Kehrwert des Sinus).

Unter Verwendung des trigonometrischen Kreises ist die Winkeleinheit radial kann abgeleitet werden: 1 (ein) Bogenmaß ist der Winkel, bei dem die Bogenlänge gleich dem Radius ist ( ${displaystyle =180^{circ }!/pi}$ , gleich mehr als 57°). Die Bogenlänge zwischen zwei Punkten auf dem trigonometrischen Kreis ist der absolute Wert des Winkels, ausgedrückt in Bogenmaß, zwischen den zugeführten Strahlen zu diesen Punkten.

Gegen den Uhrzeigersinn ist die positive Orientierung auf einem trigonometrischen Kreis. Ein gegen den Uhrzeigersinn gemessener Winkel vom Start- zum Endschenkel hat dann einen positiven Wert. Wenn Sie im Uhrzeigersinn messen, hat der Winkel einen negativen Wert.

Geschichte

griechisch Wissenschaftler interessierten sich zuerst für trigonometrische Zahlen aus der praktischen Notwendigkeit von necessity Astronom Berechnungen. Das wichtigste griechische Lehrbuch über Astronomie, das wir heute haben, ist das von Ptolemäus, am besten bekannt unter dem Titel der arabischen Übersetzung Almagest. Bei Ptolemäus ist die scheinbare Bewegung eines Himmelskörpers das Ergebnis der Zusammensetzung der täglichen Rotation der Himmelskuppel und des jährlichen Umlaufs der Sonne um die Erde. Um diese Zusammensetzung zu berechnen, hat er die Länge der Akkord aus einer Ecke; in der modernen Terminologie ist das das Doppelte des Sinus des halben Winkels multipliziert mit dem Radius des Kreises, der von Ptolemäus auf 60 to . normiert ist Babylonisch Beispiel.^[1]

Auch in der chinesischen Tradition, im Buch festgehalten Zhoubi Suanjing, Astronomie liegt der Trigonometrie zugrunde.^[2]

Beziehungen zwischen Winkeln

Mit Hilfe des Kreises werden folgende Zusammenhänge sichtbar:

{displaystyle sin(-alpha)=-sin alpha}

{Anzeigestil cos(-alpha)=cos alpha}

{displaystyle cos(alpha)=sin left({frac {pi}{2}}-alpha ight)}

Der Tangens von a Ecke ist definiert als das Verhältnis zwischen ${Anzeigestil sin alpha }$ und ${Anzeigestil cos alpha}$ So:

{displaystyle an alpha ={frac {sin alpha }{cos alpha }}}

so dass:

{displaystyle ein(-alpha)=- ein Alpha}

Von dem Satz des Pythagoras folgt^[3] das Grundformel der Trigonometrie:

{displaystyle sin ^{2}alpha cos ^{2}alpha =1}

Secans (sec), Cosecans (csc) und Cotangens (cot) sind die gegenseitig Funktionen von jeweils: Kosinus, Sinus und Tangens.

{displaystyle bett alpha ={frac {1}{ ein alpha }}}

{displaystyle sec alpha ={frac {1}{cos alpha }}}

{displaystyle csc alpha ={frac {1}{sin alpha }}}

Mit den Grundbeziehungen lässt sich immer eine der Funktionen in einer anderen ausdrücken, wenn auch nur für ein rechtwinkliges Dreieck. Die „Kunst“ in der Trigonometrie besteht daher oft darin, ein beliebiges Dreieck oder Vieleck in rechtwinklige Dreiecke zu unterteilen, damit die grundlegenden Zusammenhänge angewendet werden können. Die folgenden 6 Formeln gelten für ${displaystyle alpha }$ zwischen 0 und ${Anzeigestil pi /2}$ Bogenmaß.

{displaystyle sin alpha ={sqrt {1-cos ^{2}alpha }}}

{displaystyle sin alpha ={frac { an alpha }{sqrt {1 an ^{2}alpha }}}}

{displaystyle cos alpha ={sqrt {1-sin ^{2}alpha }}}

{displaystyle cos alpha ={frac {1}{sqrt {1 an ^{2}alpha }}}}

{displaystyle an alpha ={frac {sqrt {1-cos ^{2}alpha }}{cos alpha }}}

{displaystyle an alpha ={frac {sin alpha }{sqrt {1-sin ^{2}alpha }}}}

Weitere Umrechnungsregeln

Illustration der Summenregel.

Die Summen- und Differenzregeln:

{displaystyle sin(alpha - eta) = sin alpha cos eta -cos alpha sin eta }

{displaystyle sin (alpha eta ) = sin alpha cos eta cos alpha sin eta }

{displaystyle cos(alpha - eta)=cos alpha cos eta sin alpha sin eta}

{displaystyle cos(alpha eta)=cos alpha cos eta -sin alpha sin eta}

{displaystyle an(alpha - eta )={frac { ein alpha - ein eta }{1 ein alpha ein eta }}}

{displaystyle an(alpha eta )={frac { ein alpha an eta }{1- ein alpha an eta }}}

Mit α = β das ergibt die Verdopplungsformeln:

{displaystyle sin(2alpha)=2sin alpha cos alpha}

{displaystyle cos(2alpha)=cos^{2}alpha -sin^{2}alpha}

{Anzeigestil cos(2alpha)=2cos ^{2}alpha -1}

{displaystyle cos(2alpha )=1-2sin ^{2}alpha }

{displaystyle an(2alpha)={frac {2 an alpha }{1- an ^{2}alpha }}}

Für das Tripel eines Winkels ergeben die Summenregeln in Kombination mit den Regeln für den doppelten Winkel Folgendes:

{displaystyle sin(3alpha )=3sin alpha -4sin ^{3}alpha }

{Anzeigestil cos(3alpha)=4cos^{3}alpha -3cos alpha}

{displaystyle an(3alpha )={frac {3 an alpha - an ^{3}alpha }{1-3 an ^{2}alpha }}}

Das Simpson-Regeln Summen in Produkte (Faktoren) umwandeln

{displaystyle cos alpha cos eta = 2cos {frac {alpha eta }{2}}cos {frac {alpha - eta }{2}}}

{displaystyle cos alpha -cos eta =-2sin {frac {alpha eta}{2}}sin {frac {alpha - eta}{2}}}

{displaystyle sin alpha sin eta =2sin {frac {alpha eta}{2}}cos {frac {alpha - eta}{2}}}

{displaystyle sin alpha -sin eta =2cos {frac {alpha eta}{2}}sin {frac {alpha -eta }{2}}}

Darüber hinaus gilt:

{displaystyle sin alpha cos alpha ={sqrt {2}}cos left(alpha -{ frac {1}{4}}pi ight)={sqrt {2}}sin(alpha { frac {1}{4}}pi )}

{displaystyle sin alpha -cos alpha =-{sqrt {2}}cos left(alpha { frac {1}{4}}pi ight)={sqrt {2}}sin(alpha -{ frac {1}{4} }pi)}

Nützlich, wenn integrieren:

{displaystyle cos ^{2}alpha ={frac {1 cos 2alpha }{2}}}

{displaystyle sin^{2}alpha ={frac {1-cos 2alpha }{2}}}

{displaystyle sec ^{2}alpha =1 und ^{2}alpha }

{displaystyle sin alpha cos eta ={ frac {1}{2}}sin(alpha - eta) { frac {1}{2}}sin(alpha eta)}

{displaystyle sin alpha sin eta ={ frac {1}{2}}cos(alpha - eta)-{ frac {1}{2}}cos(alpha eta)}

{displaystyle cos alpha cos eta ={ frac {1}{2}}cos(alpha - eta) { frac {1}{2}}cos(alpha eta)}

{displaystyle sin ^{2}alpha cos ^{2}alpha ={frac {1-cos(4alpha)}{8}}}

Gedächtnisstütze

sehen Soscatoa für den Hauptartikel zu diesem Thema.

SOS: soin α = Överstandene Rechteckseite ÷ soschräge Seite
CAS: cox α = einangrenzende rechteckige Seite ÷ soschräge Seite
ZU EINER: tein α = Överstandene Rechteckseite ÷ einangrenzende rechteckige Seite

SOHCAHTOA auf Englisch

SOH: Sinus = Gegenteil ÷ Hypotenuse
CAH: Kosinus = angrenzend ÷ Hypotenuse
TOA: Tangente = Gegenüber ÷ Angrenzend

Gonio-Tisch

Siehe für eine genauere Beschreibung Logarithmus-Tabelle

Beispiel aus trigonometrischer Tabelle 1963

Um den Wert einer trigonometrischen Funktion bei einem gegebenen Winkel zu bestimmen, a Computer oder Taschenrechner. Vor der Einführung dieser Hilfsmittel wird eine sogenannte trigonometrische Tabelle oder einfach eine von Gonio-Tisch. In einer Gonio-Tabelle, die oft mit einer logarithmischen Tabelle kombiniert wurde oder Logarithmustabelle, für die Winkel zwischen 0 und 90 Grad, mit einer weiteren Unterteilung in Minuten, wurden für die Funktionen sin, cos, cotan und tan die logarithmischen Werte (log-Werte) angegeben. Dieser Wert könnte dann mit Hilfe der Logarithmustabelle in eine reelle Zahl umgewandelt werden. Zwischenwinkelwerte könnten durch Interpolation berechnet werden. Größere oder negative Winkel könnten unter Verwendung der trigonometrischen Standardbeziehungen berechnet werden.

Trigonometrische Funktionen

sehen Trigonometrische Funktion für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Die trigonometrischen Zahlen können als reelle Funktionen ihres Arguments studiert werden. Normalerweise wird das Argument als Winkel im Bogenmaß ausgedrückt, so dass die trigonometrischen Funktionen periodisch mit Periode sein ${Displaystil 2pi }$ (oder die Hälfte davon bei Tangente und Kotangens).

Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind beschränkt, weil ihr Bild das geschlossene Intervall ist ${Anzeigestil [-1,1]}$ ist. Die Tangens-, Kotangens-, Sekanten- und Kosekansfunktionen sind unbeschränkt und haben periodisch wiederkehrende vertikale Asymptoten, die Löchern in ihrem Bereich entsprechen (in der Definition durch 0 dividieren).

Alle trigonometrischen Funktionen sind unbegrenzt ablenkbar auf ihrer Domain und sogar analytisch in dem Sinne, dass sie in der Nähe jedes Punktes gleich der Reihensumme ihrer Taylor-Reihe. Als Beispiel geben wir hier die Reihenentwicklung der Sinusfunktion um den Punkt ${Anzeigestil x=0,}$ Das absolut konvergiert für beliebige Werte von ${Anzeigestil x:}$

{displaystyle sin(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n 1)!}}x^{2n 1}=x-{frac { x^{3}}{3!}} {frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7!}} ldots }

Die Ableitungsfunktion des Sinus ist der Kosinus; die Ableitung des Kosinus ist das Gegenteil des Sinus. Darüber hinaus gilt:

{displaystyle an '(x)={frac {1}{cos ^{2}(x)}}=sec ^{2}(x)}

{displaystyle bett '(x)={frac {-1}{sin ^{2}(x)}}=-csc ^{2}(x)}

{displaystyle sec '(x)={frac {-sin(x)}{cos ^{2}(x)}}=- an(x)sec(x)}

{displaystyle csc '(x)={frac {cos(x)}{sin ^{2}(x)}}=cot(x)csc(x)}

All diese Funktionen lassen sich aufgrund ihrer Analytik in der komplexe Zahlen, und die oben genannten Beziehungen und Berechnungsregeln bleiben gültig. Die Periodizität gilt nur in die reelle Richtung, sie sind also nicht doppelt periodisch.

Eulersche Formel

sehen Eulersche Formel für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Die Erweiterung der trigonometrischen Funktionen auf die komplexen Zahlen verbindet die Trigonometrie mit der natürlichen Exponentialfunktion. Dieser Zusammenhang manifestiert sich sehr genau in der Eulersche Formel:

{displaystyle e^{ix}=cos(x) isin(x) (xin mathbb {C}).}

Diese Formel lässt sich in eine „analytische“ Definition des Sinus und des Kosinus umwandeln:

{displaystyle sin(x)={frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}

{displaystyle cos(x)={frac {e^{ix} e^{-ix}}{2}}}

Analog dazu, indem alle Erscheinungen der imaginären Einheit weggelassen werden ${Anzeigestil i}$ von der rechten Extremität, die hyperbolische Funktionen sinh und cosh definiert.

Umkehrfunktionen

Arcsin(x): dies gibt eine Zahl (auf der x-Achse) zum entsprechenden Winkel zurück, hier in Bogenmaß (auf der y-Achse).

sehen Zyklometrische Funktion für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Die trigonometrischen Funktionen sind als solche nicht reversibel, weil sie nicht injektiv sind: verschiedene Winkel haben den gleichen Wert für beispielsweise den Sinus. Um eine monovalente Inverse zu erhalten, schränkt man den Bereich einer reellen trigonometrischen Funktion so ein, dass die eingeschränkte Funktion einen Winkel auf einen Wert abbildet.

Der Sinus ist begrenzt auf ${displaystyle [-pi /2,pi /2]}$ und der invers heiß arcsinus (auch bezeichnet als Arkussinus, wie in, Arcsin, bgsin oder Sünde⁻¹) und hat als Domain ${Anzeigestil [-1,1].}$

Der Kosinus ist begrenzt auf ${displaystyle [0,pi ]}$ und hat als inverses de Arkuskosinus (Arkuskosinus, acos, arccos, bgcos oder cos⁻¹), auch mit Domain ${Anzeigestil [-1,1].}$

Die Tangente beschränkt auf den offenen Zerfall ${Anzeigestil (-pi /2,pi /2)}$ hat als inverses de Arkustangens (eine Lohe, arctan, bgtan oder bräunen⁻¹) mit Domain sehr ${displaystyle mathbb {R} .}$

Der Kotangens begrenzt auf ${displaystyle(0,pi)}$ hat als inverses de Arkuskotangens (Bogen,bgcot oder Kinderbett⁻¹), auch mit Domain ${displaystyle mathbb {R} .}$

Die Sekanten begrenzt auf ${displaystyle [0,pi]setminus {pi/2}}$ hat als inverses de Arcsecans (Bogensekunden,bgsec oder Sek⁻¹) mit Domain ${displaystyle (-infty ,-1]cup [1,infty ).}$

Der Kosekan beschränkt auf ${displaystyle [-pi /2,pi /2]setminus {0}}$ hat als inverses de Arccosecans (arccsc,bgcsc oder csc⁻¹), auch mit Domain mit Domain ${displaystyle (-infty ,-1]cup [1,infty ).}$

Wie immer erhält man den Graphen einer inversen Funktion aus dem der Originalfunktion durch ${Anzeigestil X}$ - und ${Anzeigestil Y}$ - austauschbare Achsen (Reflexion relativ zum Winkelhalbierende mit Vergleich ${Anzeigestil x=y}$ ).

Aufgrund der Umkehrfunktionssatz die zyklometrischen Funktionen im Inneren ihres Gebietes sind ableitbar. Ihre Ableitungen sind nicht mehr trigonometrische oder zyklometrische, sondern algebraische Funktionen.

Siehe auch

Quellen, Anmerkungen und/oder Verweise

↑Kapitel 3 in Hodgkin, Luke, "A History of Mathematics - From Mesopotamia to Modernity", Oxford University Press 2005.
↑Kapitel 4 in Hodgkin, auf. zit.
↑Lange Zeit glaubte man, dass für diese Identität der Satz des Pythagoras notwendig sei. Dies ist jedoch nicht der Fall, siehe:
Jason Simba (2009) "Über die Möglichkeit trigonometrischer Beweise des Satzes des Pythagoras"Forum Geometricorum jg. 9, pp. 275-278

Mathematik
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[hodgkin-1] Kapitel 3 in Hodgkin, Luke, "A History of Mathematics - From Mesopotamia to Modernity", Oxford University Press 2005.

[hodgkin2-2] Kapitel 4 in Hodgkin, auf. zit.

[3] Lange Zeit glaubte man, dass für diese Identität der Satz des Pythagoras notwendig sei. Dies ist jedoch nicht der Fall, siehe:
Jason Simba (2009) "Über die Möglichkeit trigonometrischer Beweise des Satzes des Pythagoras"Forum Geometricorum jg. 9, pp. 275-278

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