WikiDer > Tensoralgebra

In dem abstrakte Algebra, Teil von dem Mathematik, ist der Tensoralgebra (Synonym: freie Algebra) ein mathematische Struktur dass eine gegebene Vektorraum expandiert so, dass das resultierende Sammlung ist unter dem . geschlossen Tensorprodukt.

Definition

Sie V ein Vektorraum über a (kommutativ) Körperk. Die Tensoralgebra über V ist der k-Vektorraum definiert durch das Unendliche direkte Summe von Vektorräumen

${displaystyle T(V)=oplus _{n=0}^{infty}otimes ^{n}V}$

wahr ${displaystyle otimes ^{n}V}$ es ${displaystyle n}$-faches Tensorprodukt von V ist mit sich selbst (besonders ist ${displaystyle otimes ^{0}V}$ gleicht ${Anzeigestil K}$ selbst, verstanden als kVektorraum). Es gibt eine eindeutige . auf der Tensoralgebra bilineares Bild

${Anzeigestil otimes :T(V) imes T(V) oder T(V)}$

was assoziativ ist und was für gewöhnlich Vektoren stimmt mit dem bekannten überein Tensorprodukt.

Diese Definition lässt sich leicht auf die Situation verallgemeinern, in der k einziger Kommutativer Ring ist (normalerweise ist die Existenz eines Einheitselements erforderlich), und V ein k-Modul.

${Anzeigestil T(V)}$ ist ein assoziative Algebra. Es ist nicht unbedingt kommutativ. Wenn der Ring k hat ein unit-Element (also sicherlich, wenn k ist ein Körper), dann hat ${Anzeigestil T(V)}$ ein Einheitselement.

Verwandte Begriffe

Das externe Algebra Über V ist die unendliche direkte Summe aller antisymmetrisch Tensorprodukte von V mit sich selbst. Er kann verstanden werden als der Quotientalgebra von ${Anzeigestil T(V)}$ über die (zweiseitige) Ideal die durch Elemente der Form . erzeugt wird ${displaystyle uotimes v votimes u}$.

Das symmetrische Algebra Über V ist die unendliche direkte Summe aller symmetrisch Tensorprodukte von V mit sich selbst. Sie kann als Quotientenalgebra von verstanden werden ${Anzeigestil T(V)}$ über das von Formelementen erzeugte Ideal ${displaystyle uotimes v-votimes u}$.