WikiDer > Пятьдесят девять икосаэдров

The Fifty-Nine Icosahedra
В звездчатая диаграмма для икосаэдра с центральным треугольником, отмеченным для исходного икосаэдра

Пятьдесят девять икосаэдров это книга, написанная и иллюстрированная Х. С. М. Коксетер, П. Дю Валь, Х. Т. Флатер и Дж. Ф. Петри. Он перечисляет некоторые звездчатые правильной выпуклой или платонической икосаэдр, в соответствии с набором правил, выдвинутых Дж. С. П. Миллер.

Впервые опубликовано Университетом Торонто в 1938 году, второе издание - переизданием Springer-Verlag в 1982 году. Третье издание Тарквина 1999 года включало новые справочные материалы и фотографии К. и Д. Креннелл.

Вклад авторов

Правила Миллера

Несмотря на то что Миллер не участвовал в написании книги напрямую, он был близким коллегой Кокстера и Петри. Его вклад увековечен в его своде правил для определения того, какие звездчатые формы следует считать «должным образом значимыми и отличными»:[1]

(i) Грани должны лежать в двадцати плоскостях, а именно ограничивающих плоскостях правильного икосаэдра.
(ii) Все части, составляющие грани, должны быть одинаковыми в каждой плоскости, хотя они могут быть совершенно не соединены.
(iii) Части, входящие в любую плоскость, должны иметь тригональную симметрию, без отражения или с отражением. Это обеспечивает икосаэдрическую симметрию для всего твердого тела.
(iv) Все части, входящие в любую плоскость, должны быть «доступны» в готовом твердом теле (т.е. они должны быть «снаружи». В некоторых случаях нам могут потребоваться модели огромных размеров, чтобы видеть все снаружи. модель обычного размера, некоторые части «снаружи» могли исследовать только ползающее насекомое).
(v) Мы исключаем из рассмотрения случаи, когда части можно разделить на два набора, каждый из которых дает твердое тело с такой же симметрией, как и вся фигура. Но мы допускаем комбинацию энантиоморфной пары, не имеющей общей части (что на самом деле имеет место только в одном случае).

Правила (i) - (iii) являются требованиями симметрии для плоскостей лицевых поверхностей. Правило (iv) исключает заглубленные отверстия, чтобы две звездочки не выглядели внешне одинаковыми. Правило (v) предотвращает любое разъединенное соединение более простых звездчатых элементов.

Coxeter

Кокстер был главной движущей силой этой работы. Он провел исходный анализ, основанный на правилах Миллера, применив ряд методов, таких как комбинаторика и абстрактные теория графов использование которых в геометрическом контексте было тогда новым.

Он заметил, что звездчатая диаграмма состоит из множества отрезков прямых. Затем он разработал процедуры для манипулирования комбинациями соседних областей плоскости, чтобы формально перечислить комбинации, разрешенные в соответствии с правилами Миллера.

Icosagraph.svg

Его график, воспроизведенный здесь, показывает взаимосвязь различных лиц, обозначенных на звездчатой ​​диаграмме (см. Ниже). Греческие символы представляют собой набор возможных альтернатив:

λ может быть 3 или 4
μ может быть 7 или 8
ν может быть 11 или 12

Du Val

Дю Валь разработал символическую нотацию для идентификации наборов конгруэнтных ячеек, основываясь на наблюдении, что они лежат в «оболочках» вокруг исходного икосаэдра. На основании этого он проверил все возможные комбинации на соответствие правилам Миллера, подтвердив результат более аналитического подхода Кокстера.

Flather

Вклад Флэзера был косвенным: он сделал карточные модели всех 59. Когда он впервые встретил Кокстера, он уже сделал много звёздчатых фигур, в том числе некоторые «не-Миллеровские» образцы. Затем он завершил серию из пятидесяти девяти, которые хранятся в математической библиотеке Кембриджского университета, Англия. В библиотеке также есть несколько моделей, не принадлежащих Миллеру, но неизвестно, были ли они сделаны Флэтером или более поздними учениками Миллера.[2]

Петри

Джон Флиндерс Петри был другом Кокстера на протяжении всей жизни и обладал замечательной способностью визуализировать четырехмерную геометрию. Он и Кокстер вместе работали над множеством математических задач. Его непосредственным вкладом в создание пятидесяти девяти икосаэдров был изысканный набор трехмерных рисунков, которые обеспечивают большую часть очарования опубликованной работы.

Креннеллы

Для третьего издания Кейт и Дэвид Креннелл сбросили текст и перерисовали диаграммы. Они также добавили справочный раздел, содержащий таблицы, диаграммы и фотографии некоторых моделей из Кембриджа (которые в то время считались принадлежащими Флэзеру). Исправления к этому изданию опубликованы в Интернете.[3]

Список пятидесяти девяти икосаэдров

Звездчатая диаграмма с пронумерованными наборами граней
Диаграмма ячеек с обозначением Дюваля для ячеек

До Кокстера только Брюкнер и Уиллер зарегистрировали какие-либо значительные наборы звёздчатых образов, хотя некоторые из них, такие как большой икосаэдр, были известны дольше. С момента публикации 59Веннингер опубликовал инструкции по изготовлению моделей некоторых; Схема нумерации, используемая в его книге, получила широкое распространение, хотя он записал только несколько звездочек.

Примечания к списку

Номера индексов принадлежат Креннеллам, если не указано иное:

Crennell

  • В индексной нумерации, добавленной Креннеллами к третьему изданию, первые 32 формы (индексы 1-32) являются отражающий моделей, а последние 27 (индексы 33-59) - хиральный с указанием только правосторонних форм. Это соответствует порядку, в котором звездочки изображены в книге.

Клетки

  • В обозначениях Дюваля каждая оболочка выделена жирным шрифтом и направлена ​​наружу, как а, б, c, ..., час с а являясь оригинальным икосаэдром. Некоторые оболочки подразделяются на клетки двух типов, например е включает е1 и е2. Набор ж1 далее подразделяется на правую и левую формы соответственно f1 (простой тип) и ж1 (курсив). Если в звездчатой ​​форме все ячейки присутствуют внутри внешней оболочки, внешняя оболочка пишется с заглавной буквы, а внутренняя опускается, например а + б + c + е1 записывается как Ce1.

Лица

  • Все звездчатые формы могут быть указаны звездчатая диаграмма. На диаграмме, показанной здесь, пронумерованные цвета указывают области звездчатой ​​диаграммы, которые должны встречаться вместе как набор, если должна поддерживаться полная симметрия икосаэдра. На схеме 13 таких наборов. Некоторые из них подразделяются на хиральные пары (не показаны), что позволяет использовать звездообразные формы с вращательной, но не рефлексивной симметрией. В таблице лица, которые видны снизу, обозначены апострофом, например 3'.

Веннингер

  • Индексные номера и пронумерованные имена были произвольно распределены издателем Веннингера в соответствии с их появлением в его книге. Модели многогранников и не имеют отношения к какой-либо математической последовательности. Лишь некоторые из его моделей были икосаэдрами. Его имена даны в сокращенном виде, с опущенным словом «... икосаэдра».

Уиллер

  • Уиллер нашел свои фигуры, или «формы» икосаэдра, выбрав отрезки прямых на звездчатой ​​диаграмме. Он тщательно отличал это от Кеплерклассический звездчатость процесс. Coxeter et al. проигнорировал это различие и назвал их все звёздчатыми.

Брюкнер

  • Макс Брюкнер изготовил и сфотографировал модели многих многогранников, лишь некоторые из которых были икосаэдрами. Таф. это сокращение от Тафель, Немецкий для тарелка.

Замечания

Таблица пятидесяти девяти икосаэдров

Некоторые изображения иллюстрируют зеркальный икосаэдр с ж1 а не е1 клетка.

CrennellКлеткиЛицаВеннингерУиллерБрюкнерЗамечанияДиаграмма лица3D
1А004
Икосаэдр
1В Платонический икосаэдрЗвездчатая диаграмма icosahedron.svgЗвездчатый икосаэдр A.png
2B126
Триакис икосаэдр
2Таф. VIII, рис.2Первая звездчатая форма икосаэдра,
малый триамбический икосаэдр,
или Триакизикосаэдр
Малый триамбический звездчатый икосаэдр Facets.svgЗвездчатый икосаэдр B.png
3C223
Соединение пяти октаэдров
3Таф. IX, рис.6Обычный соединение пяти октаэдровСоединение пяти октаэдров со звёздчатыми гранями.svgЗвездчатый икосаэдр C.png
4D3 4994Таф. IX, Рис.17Звездчатый икосаэдр d facets.pngЗвездчатый икосаэдр D.png
5E5 6 79999Креннелл 5-й икосаэдр Stellation Facets.pngЗвездчатый икосаэдр E.png
6F8 9 1027
Вторая звездочка
19Вторая звездочка икосаэдраВеннингер I2 звездчатый facets.svgЗвездчатый икосаэдр F.png
7грамм11 1241
Большой икосаэдр
11Таф. XI, Рис.24Большой икосаэдрБольшой звездчатый икосаэдр Facets.svgЗвездчатый икосаэдр G.png
8ЧАС1342
Конечная звездчатость
12Таф. XI, Рис. 14Окончательная звездчатость икосаэдра или ЕхиднаэдрЗвездчатость ехиднаэдра Facets.svgЗвездчатый икосаэдр H.png
9е13' 537
Двенадцатая звездочка
99Двенадцатая звездчатость икосаэдраВеннингер I12 звездчатый facets.svgЗвездчатый икосаэдр e1.png
10ж15' 6' 9 109999Креннелл 10-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр f1.png
11грамм110' 1229
Четвертая звездочка
21Четвертая звездчатость икосаэдраВеннингер I4 звездчатый facets.svgЗвездчатый икосаэдр g1.png
12е1ж13' 6' 9 109999Креннелл 12-й икосаэдр Stellation Facets.pngЗвездчатый икосаэдр e1f1.png
13е1ж1грамм13' 6' 9 129920Креннелл 13-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр e1f1g1.png
14ж1грамм15' 6' 9 129999Креннелл, 14-й икосаэдр Stellation Facets.pngЗвездчатый икосаэдр f1g1.png
15е24' 6 79999Креннелл 15-й икосаэдр Stellation Facets.pngЗвездчатый икосаэдр e2.png
16ж27' 89922Креннелл 16-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр f2.png
17грамм28' 9'119999Креннелл 17-й икосаэдр Stellation Facets.pngЗвездчатый икосаэдр g2.png
18е2ж24' 6 89999Креннелл, 18-й икосаэдр Stellation Facets.pngЗвездчатый икосаэдр e2f2.png
19е2ж2грамм24' 6 9' 119999Креннелл 19-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр e2f2g2.png
20ж2грамм27' 9' 1130
Пятая звездочка
99Пятая звездчатость икосаэдраВеннингер I5 звездчатый facets.svgЗвездчатый икосаэдр f2g2.png
21Де14 532
Седьмая звездочка
10Седьмая звездочка икосаэдраВеннингер I7 звездчатый facets.svgЗвездчатый икосаэдр De1.png
22Ef17 9 1025
Соединение десяти тетраэдров
8Таф. IX, рис.Обычный соединение десяти тетраэдровСоединение десяти звездчатых граней тетраэдров.svgЗвездчатый икосаэдр Ef1.png
23Fg18 9 1231
Шестая звездочка
17Таф. X, рис.3Шестая звездчатость икосаэдраВеннингер I6 звездчатый facets.svgЗвездчатый икосаэдр Fg1.png
24Де1ж14 6' 9 109999Креннелл 24-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр De1f1.png
25Де1ж1грамм14 6' 9 129999Креннелл 25-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр De1f1g1.png
26Ef1грамм17 9 1228
Третья звездочка
9Таф. VIII, Рис. 26Раскопанный додекаэдрВыкопанный додекаэдр звездчатости Facets.svgЗвездчатый икосаэдр Ef1g1.png
27Де23 6 7995Креннелл 27-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр De2.png
28Ef25 6 89918Taf.IX, рис.20Звёздчатая форма икосаэдра ef2 facets.pngЗвездчатый икосаэдр Ef2.png
29Fg210 1133
Восьмая звездочка
14Восьмая звездчатость икосаэдраВеннингер I8 звездчатый facets.svgЗвездчатый икосаэдр Fg2.png
30Де2ж23 6 834
Девятая звездочка
13Медиальный триамбический икосаэдр или
Большой триамбический икосаэдр
Большой триамбический звездчатый икосаэдр Facets.svgЗвездчатый икосаэдр De2f2.png
31Де2ж2грамм23 6 9' 119999Креннелл 31-й икосаэдр Stellation Facets.pngЗвездчатый икосаэдр De2f2g2.png
32Ef2грамм25 6 9' 119999Креннелл 32-й икосаэдр Stellation Facets.pngЗвездчатый икосаэдр Ef2g2.png
33ж15' 6' 9 1035
Десятая звездочка
99Десятая звездчатость икосаэдраВеннингер I10 звездчатый facets.svgЗвездчатый икосаэдр f1d.png
34е1ж13' 5 6' 9 1036
Одиннадцатая звездочка
99Одиннадцатая звездчатость икосаэдраВеннингер I11 звездчатый facets.svgЗвездчатый икосаэдр e1f1d.png
35Де1ж14 5 6' 9 109999Креннелл 35-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр De1f1d.png
36ж1грамм15' 6' 9 10' 129999Креннелл 36-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр f1dg1.png
37е1ж1грамм13' 5 6' 9 10' 1239
Четырнадцатая звездочка
99Четырнадцатая звёздчатая форма икосаэдраВеннингер I14 звездчатый facets.svgЗвездчатый икосаэдр e1f1dg1.png
38Де1ж1грамм14 5 6' 9 10' 129999Креннелл 38-й икосаэдр Stellation Facets.pngЗвездчатый икосаэдр De1f1dg1.png
39ж1грамм25' 6' 8' 9' 10 119999Креннелл 39-й икосаэдр Stellation Facets.pngЗвездчатый икосаэдр f1dg2.png
40е1ж1грамм23' 5 6' 8' 9' 10 119999Креннелл 40-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр e1f1dg2.png
41Де1ж1грамм24 5 6' 8' 9' 10 119999Креннелл 41-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр De1f1dg2.png
42ж1ж2грамм25' 6' 7' 9' 10 119999Креннелл 42-й звездчатый грань икосаэдра.pngЗвездчатый икосаэдр f1df2g2.png
43е1ж1ж2грамм23' 5 6' 7' 9' 10 11999943-й икосаэдр Креннелла stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр e1f1df2g2.png
44Де1ж1ж2грамм24 5 6' 7' 9' 10 119999Креннелл 44-й икосаэдр Stellation Facets.pngЗвездчатый икосаэдр De1f1df2g2.png
45е2ж14' 5' 6 7 9 1040
Пятнадцатая звездочка
99Пятнадцатая звездчатость икосаэдраВеннингер I15 звездчатый facets.svgЗвездчатый икосаэдр e2f1d.png
46Де2ж13 5' 6 7 9 10999946-й икосаэдр Креннелла stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр De2f1d.png
47Eж15 6 7 9 1024
Соединение пяти тетраэдров
7
(6: левша)
Таф. IX, Рис.11Обычный Соединение пяти тетраэдров (правша)Соединение пяти звездчатых граней тетраэдров.svgЗвездчатый икосаэдр Ef1d.png
48е2ж1грамм14' 5' 6 7 9 10' 129999Креннелл 48-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр e2f1dg1.png
49Де2ж1грамм13 5' 6 7 9 10' 129999Креннелл 49-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр De2f1dg1.png
50Eж1грамм15 6 7 9 10' 129999Креннелл 50-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр Ef1dg1.png
51е2ж1ж24' 5' 6 8 9 1038
Тринадцатая звездочка
99Тринадцатая звёздочка икосаэдраВеннингер I13 звездчатый facets.svgЗвездчатый икосаэдр e2f1df2.png
52Де2ж1ж23 5' 6 8 9 109999Креннелл 52-й икосаэдр Stellation Facets.pngЗвездчатый икосаэдр De2f1df2.png
53Eж1ж25 6 8 9 109915
(16: левша)
Креннелл 53-й икосаэдр Stellation Facets.pngЗвездчатый икосаэдр Ef1df2.png
54е2ж1ж2грамм14' 5' 6 8 9 10' 129999Креннелл 54-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр e2f1df2g1.png
55Де2ж1ж2грамм13 5' 6 8 9 10' 129999Креннелл 55-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр De2f1df2g1.png
56Eж1ж2грамм15 6 8 9 10' 129999Креннелл 56-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр Ef1df2g1.png
57е2ж1ж2грамм24' 5' 6 9' 10 119999Креннелл 57-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр e2f1df2g2.png
58Де2ж1ж2грамм23 5' 6 9' 10 119999Креннелл 58-й икосаэдр stellation facets.pngЗвездчатый икосаэдр De2f1df2g2.png
59Eж1ж2грамм25 6 9' 10 119999Креннелл 59-й икосаэдр Stellation Facets.pngЗвездчатый икосаэдр Ef1df2g2.png

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Кокстер, дю Валь и др. (Третье издание, 1999 г.), страницы 15-16.
  2. ^ Inchbald, G .; Некоторые утраченные звёздчатые формы икосаэдра, steelpillow.com, 11 июля 2006 г. [1] (получено 14 сентября 2017 г.)]
  3. ^ К. и Д. Креннелл; Пятьдесят девять икосаэдров, Друзья Фортрана, [2] (получено 14 сентября 2017 г.).

Рекомендации

  • Брюкнер, Макс (1900). Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. Лейпциг: B.G. Treubner. ISBN 978-1-4181-6590-1. (на немецком)
WorldCat Английский: Многоугольники и многогранники: теория и история. Фотографии моделей: Тафель VIII (табл. VIII), так далее. Высокое разрешение. сканы.

внешняя ссылка