WikiDer > Окончательная звездчатость икосаэдра

Final stellation of the icosahedron
Окончательная звездчатость икосаэдра
Полный икосаэдр ortho stella.pngПолный икосаэдр ortho2 stella.png
Два симметричных орфографические проекции
Группа симметрииикосаэдр (ячас)
ТипЗвездчатый икосаэдр, 8 из 59
СимволыDu Val ЧАС
Веннингер: W42
Элементы
(Как звездный многогранник)
F = 20, E = 90
V = 60 (χ = −10)
Элементы
(Как простой многогранник)
F = 180, E = 270,
V = 92 (χ = 2)
Характеристики
(Как звездный многогранник)
Вершинно-транзитивный, лицо переходный
Звездчатая диаграммаЗвездчатость основнойВыпуклый корпус
Звездчатость ехиднаэдра Facets.svgИкосаэдр.png
Икосаэдр
Полная выпуклая оболочка икосаэдра.png
усеченный икосаэдр

В геометрия, то полный или же окончательная звездчатость икосаэдра[1][2] самый внешний звездчатость из икосаэдр, и является "полным" и "окончательным", потому что включает все ячейки в икосаэдре звездчатая диаграмма. То есть каждые три пересекающиеся плоскости граней ядра икосаэдра пересекаются либо в вершине этого многогранника, либо внутри него.

Этот многогранник семнадцатый звездчатость из икосаэдр, и задано как Индекс модели Веннингера 42.

Как геометрическая фигура, она имеет две интерпретации, описанные ниже:

Иоганн Кеплер исследовали звездчатые образования, образующие правильные звездные многогранники ( Многогранники Кеплера-Пуансо) в 1619 г., но полный икосаэдр с неправильными гранями был впервые изучен в 1900 г. Макс Брюкнер.

История

Кеплер-Пуансо solids.svg

Модель финальной звёздчатой ​​формы икосаэдра.JPG
Модель Брюкнера
(Таф. XI, рис. 14, 1900 г.)[3]
Ехидна, Exmouth.jpg
Ехидна

Интерпретации

Звездчатая диаграмма икосаэдра с пронумерованными ячейками. Полный икосаэдр состоит из всех ячеек звездчатой ​​формы, но видны только самые внешние области, обозначенные на схеме цифрой «13».
3D-модель финальной звездчатой ​​формы икосаэдра

Как звездочка

В звездчатость многогранника расширяет грани многогранника на бесконечные плоскости и порождает новый многогранник, который ограничен этими плоскостями как гранями и пересечениями этих плоскостей как ребрами. Пятьдесят девять икосаэдров перечисляет звёздчатые формы регулярных икосаэдр, в соответствии с набором правил, выдвинутых Дж. С. П. Миллер, в том числе полная звездчатость. Символ Дю Валя полной звездчатой ​​формы - ЧАС, поскольку он включает все ячейки на звездчатой ​​диаграмме до самого внешнего слоя «h» включительно.[6]

Как простой многогранник

Полная сеть икосаэдра stella.png
А многогранная модель может быть построен из 12 наборов граней, каждая из которых сложена в группу из пяти пирамид.

В виде простого многогранника с видимой поверхностью внешняя форма конечной звездообразной формы состоит из 180 треугольных граней, которые являются крайними треугольными областями на звездчатой ​​диаграмме. Они соединяются по 270 ребрам, которые, в свою очередь, пересекаются в 92 вершинах с Эйлерова характеристика из 2.[9]

92 вершины лежат на поверхностях трех концентрических сфер. Самая внутренняя группа из 20 вершин образует вершины правильного додекаэдра; следующий слой из 12 образуют вершины правильного икосаэдра; а внешний слой из 60 образуют вершины неоднородного усеченного икосаэдра. Радиусы этих сфер находятся в соотношении[10]

Выпуклые оболочки каждой сферы вершин
ВнутреннийСерединаВнешнийВсе три
20 вершин12 вершин60 вершин92 вершины
Dodecahedron.png
Додекаэдр
Икосаэдр.png
Икосаэдр
Полная выпуклая оболочка икосаэдра.png
Неоднородный
усеченный икосаэдр
Полный икосаэдр ortho stella.png
Полный икосаэдр

При рассмотрении как трехмерного твердого объекта с длиной ребер а, φа, φ2а и φ2а2 (где φ - Золотое сечение) полный икосаэдр имеет площадь поверхности[10]

и объем[10]

Как звездный многогранник

Ехиднаэдр с эннеаграммой face.png
Двадцать 9 граней многоугольника (одна грань нарисована желтым с 9 отмеченными вершинами).
Эннеаграмма 9-4 icosahed.svg
2-изогональный 9 лиц

Полную звездчатую форму можно также рассматривать как самопересекающийся звездный многогранник имеющий 20 граней, соответствующих 20 граням нижележащего икосаэдра. Каждое лицо - неправильное 9/4 звездный многоугольник, или же эннеаграмма.[6] Поскольку три грани пересекаются в каждой вершине, он имеет 20 × 9/3 = 60 вершин (это самый внешний слой видимых вершин и образуют концы «шипов») и 20 × 9/2 = 90 ребер (каждый край ребра звездный многогранник включает и соединяет два из 180 видимых ребер).

Если рассматривать звездный икосаэдр, вся звездчатость благородный многогранник, потому что это оба равногранный (лицо-переходное) и изогональный (вершинно-транзитивный).

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Coxeter et al. (1938), стр 30–31
  2. ^ Веннингер, Модели многогранников, п. 65.
  3. ^ а б Брюкнер, Макс (1900)
  4. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Кеплер-Пуансо Солид". MathWorld.
  5. ^ Луи Пуансо, Воспоминания о многоугольниках и многогранниках. J. de l'École Polytechnique 9, стр. 16–48, 1810.
  6. ^ а б c Кромвель (1999) (стр. 259)
  7. ^ Уиллер (1924)
  8. ^ Название ехиднаэдр можно приписать Эндрю Хьюму, разработчик из netlib база данных многогранников:
    «... и несколько необычных тел, включая ехиднаэдр (мое имя; на самом деле это последняя звездчатая форма икосаэдра)». geometry.research; "база данных многогранников"; 30 августа 1995 г., 12:00.
  9. ^ Ехиднаэдр В архиве 2008-10-07 на Wayback Machine на polyhedra.org
  10. ^ а б c Вайсштейн, Эрик В. «Ехиднаэдр». MathWorld.

Рекомендации

внешняя ссылка

Примечательный звёздчатые формы икосаэдра
ОбычныйУниформа двойниковОбычные соединенияОбычная звездаДругие
(Выпуклый) икосаэдрМалый триамбический икосаэдрМедиальный триамбический икосаэдрБольшой триамбический икосаэдрСоединение пяти октаэдровСоединение пяти тетраэдровСоединение десяти тетраэдровБольшой икосаэдрРаскопанный додекаэдрОкончательная звездчатость
Нулевой звездообразный элемент икосаэдра.pngПервая звездчатая форма икосаэдра.pngДевятая звездочка икосаэдра.pngПервая составная звёздчатая форма икосаэдра.pngВторая составная звёздчатая форма икосаэдра.pngТретья составная звёздчатая форма икосаэдра.pngШестнадцатая звездочка икосаэдра.pngТретья звездочка икосаэдра.pngСемнадцатая звездчатость икосаэдра.png
Звездчатая диаграмма icosahedron.svgМалый триамбический звездчатый икосаэдр Facets.svgБольшой триамбический звездчатый икосаэдр Facets.svgСоединение пяти октаэдров со звёздчатыми гранями.svgСоединение пяти звездчатых граней тетраэдров.svgСоединение десяти звездчатых граней тетраэдров.svgБольшой звездчатый икосаэдр Facets.svgВыкопанный додекаэдр звездчатости Facets.svgЗвездчатость ехиднаэдра Facets.svg
Процесс образования звезд на икосаэдре создает ряд связанных многогранники и соединения с икосаэдрическая симметрия.