WikiDer > Тороидальный многогранник

Toroidal polyhedron
Многогранник тор может быть построен для аппроксимации поверхности тора из сеть четырехугольных граней, как в этом примере 6x4.

В геометрия, а тороидальный многогранник это многогранник который также является тороидграмм-отвернутый тор), иметь топологический род 1 или больше. Известные примеры включают Császár и Многогранники Силасси.

Варианты определения

Тороидальные многогранники определяются как совокупности полигоны которые встречаются на своих краях и вершинах, образуя многообразие как они это делают. То есть каждое ребро должно быть разделено ровно на два многоугольника, а связь каждой вершины должен быть один цикл, который чередуется между ребрами и многоугольниками, которые встречаются в этой вершине. Для тороидальных многогранников это многообразие является ориентируемая поверхность.[1] Некоторые авторы ограничивают словосочетание «тороидальные многогранники» более конкретным обозначением многогранников, топологически эквивалентных (род 1) тор.[2]

В этой области важно различать встроенный тороидальные многогранники, грани которых являются плоскими многоугольниками в трехмерном пространстве. Евклидово пространство которые не перекрещиваются друг с другом, от абстрактные многогранники, топологические поверхности без заданной геометрической реализации.[3] Промежуточным звеном между этими двумя крайностями являются многогранники, образованные геометрическими многоугольниками или звездные многоугольники в евклидовом пространстве, которым разрешено пересекать друг друга.

Во всех этих случаях тороидальный характер многогранника подтверждается его ориентируемостью и его ориентацией. Эйлерова характеристика быть отрицательным. Эйлерова характеристика обобщается на VE + F = 2 − 2N, куда N количество отверстий.

Многогранники Часара и Силасси

Интерактивная модель многогранника Сзиласси с каждой гранью разного цвета. В изображение SVG, переместите мышь влево и вправо, чтобы повернуть его.[4]
Интерактивная модель многогранника Часара. В изображение SVG, переместите мышь, чтобы повернуть его.[5]

Два из самых простых возможных вложенных тороидальных многогранников - это многогранники Часара и Силасси.

В Многогранник Часара представляет собой семивершинный тороидальный многогранник с 21 ребром и 14 треугольными гранями.[6] Это и тетраэдр являются единственными известными многогранниками, в которых каждый возможный отрезок, соединяющий две вершины, образует ребро многогранника.[7] Его двойственный, Многогранник Силасси, имеет семь шестиугольных граней, которые примыкают друг к другу,[8] следовательно, обеспечивая существование половины теорема что максимальное количество цветов, необходимое для отображения на торе (первого рода), равно семи.[9]

Многогранник Часара имеет наименьшее возможное количество вершин любого вложенного тороидального многогранника, а многогранник Силасси имеет наименьшее возможное количество граней любого вложенного тороидального многогранника.

Тороиды Стюарта

Особая категория тороидальных многогранников строится исключительно правильный многоугольник грани, без пересечений и с дополнительным ограничением, что смежные грани не могут лежать в одной плоскости друг с другом. Они называются Тороиды Стюарта,[10] названный в честь Бонни Стюарт, которые интенсивно их изучили.[11] Они аналогичны Твердые тела Джонсона в случае выпуклые многогранники; однако, в отличие от тел Джонсона, тороидов Стюарта бесконечно много.[12] К ним относятся также тороидальные дельтаэдры, многогранники, все грани которых представляют собой равносторонние треугольники.

Ограниченный класс тороидов Стюарта, также определенный Стюартом, - это квазивыпуклые тороидальные многогранники. Это тороиды Стюарта, которые включают в себя все края их выпуклые оболочки. Для такого многогранника каждая грань выпуклой оболочки либо лежит на поверхности тороида, либо представляет собой многоугольник, все ребра которого лежат на поверхности тороида.[13]

Тороиды Стюарта путем увеличения одного многогранника
Род11
ИзображениеТороид Стюарта 6-hexprisms.pngВосемь октаэдров toroid.png
Многогранники6 шестиугольные призмы8 октаэдры
Вершины4824
Края8472
Лица3648
Квазивыпуклые тороиды Стюарта
Род131135711
ИзображениеExcavated truncated cube.pngРаскопанный усеченный октаэдр1.pngРаскопанный усеченный октаэдр2.pngExcavated расширенный cuboctahedron.pngExcavated truncated cuboctahedron4.pngРаскопанный усеченный кубооктаэдр2.pngВыкопанный усеченный кубооктаэдр3.pngExcavated truncated cuboctahedron.png
Многогранники4 квадратные купола
8 тетраэдры
6 треугольные купола
6 квадратные пирамиды
4 треугольные купола
6 квадратные пирамиды
24 треугольные призмы
6 квадратные пирамиды
8 тетраэдры
6 квадратные купола
4 треугольные купола
12 кубики
8 треугольные купола
12 кубики
6 квадратные купола
12 кубики
6 квадратные купола
8 треугольные купола
Выпуклый корпусусеченный кубусеченный октаэдрусеченный октаэдррасширенный кубооктаэдрусеченный кубооктаэдрусеченный кубооктаэдрусеченный кубооктаэдрусеченный кубооктаэдр
Вершины3230306272727272
Края646072168144168168168
Лица3230388668888476

Самопересекающиеся многогранники

Octahemioctahedron.png
Октагемиоктаэдр
Маленький кубокубооктаэдр.png
Малый кубокубооктаэдр
Большой додекаэдр.png
Большой додекаэдр

Многогранник, образованный системой пересекающихся многоугольников, соответствует абстрактному топологическому многообразию, образованному его многоугольниками и их системой общих ребер и вершин, и род многогранника может быть определен из этого абстрактного многообразия. Примеры включают род-1 октагемиоктаэдр, род-3 малый кубокубооктаэдр, а род-4 большой додекаэдр.

Коронные многогранники

Пятиугольный стефаноид. Этот стефаноид имеет пятиугольную форму. двугранная симметрия и имеет те же вершины, что и форма пятиугольная призма.

А корона многогранник или же стефаноид тороидальный многогранник, который также благородный, будучи обоими изогональный (равные вершины) и равногранный (равные лица). Коронные многогранники самопересекающиеся и топологически самодвойственный.[14]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Уайтли (1979); Стюарт (1980), п. 15.
  2. ^ Уэббер, Уильям Т. (1997), "Одноэдральные идемвалентные многогранники, которые являются тороидами", Geometriae Dedicata, 67 (1): 31–44, Дои:10.1023 / А: 1004997029852, МИСТЕР 1468859.
  3. ^ Уайтли, Уолтер (1979), «Реализуемость многогранников» (PDF), Структурная топология (1): 46–58, 73, МИСТЕР 0621628.
  4. ^ Бранко Грюнбаум, Лайош Силасси, Геометрические реализации специальных тороидальных комплексов., Вклад в дискретную математику, Том 4, номер 1, страницы 21-39, ISSN 1715-0868
  5. ^ Акос Часар, Многогранник без диагоналей., Институт Бойяи, Сегедский университет, 1949 г.
  6. ^ Часар, А. (1949), «Многогранник без диагоналей», Acta Sci. Математика. Сегед, 13: 140–142.
  7. ^ Циглер, Гюнтер М. (2008), «Полиэдрические поверхности высокого рода», Бобенко, А. И .; Schröder, P .; Салливан, Дж. М.; Зиглер, Г. М. (ред.), Дискретная дифференциальная геометрия, Обервольфахские семинары, 38, Springer-Verlag, стр. 191–213, arXiv:math.MG/0412093, Дои:10.1007/978-3-7643-8621-4_10, ISBN 978-3-7643-8620-7.
  8. ^ Силасси, Лайош (1986), «Штатные тороиды» (PDF), Структурная топология, 13: 69–80[постоянная мертвая ссылка].
  9. ^ Хивуд, П. Дж. (1890), «Теоремы о раскраске карт», Ежеквартально J. Math. Oxford Ser., 24: 322–339
  10. ^ Уэбб, Роберт (2000), «Стелла: навигатор по многограннику», Симметрия: культура и наука, 11 (1–4): 231–268, МИСТЕР 2001419.
  11. ^ Стюарт, Б. М. (1980), Приключения среди тороидов: исследование ориентированных многогранников с правильными гранями (2-е изд.), Б. М. Стюарт, ISBN 978-0-686-11936-4.
  12. ^ Стюарт (1980), п. 15.
  13. ^ Стюарт (1980), "Квазивыпуклость и слабая квазивыпуклость", стр. 76–79.
  14. ^ Грюнбаум, Бранко (1994), «Многогранники с полыми гранями», Многогранники: абстрактные, выпуклые и вычислительные, Серия C НАТО ASI: Математические и физические серии, 440, Kluwer Academic Publishers, стр. 43–70, Дои:10.1007/978-94-011-0924-6_3. См. В частности п. 60.

внешняя ссылка