WikiDer > Zweite Ableitung

Das zweite Ableitung von a Funktion ist der Derivat der Ableitung dieser Funktion, also die Funktion, die durch zweimaliges Multiplizieren der ursprünglichen Funktion erhalten wird unterscheiden (alle unter der Annahme, dass die Derivate existieren). Die zweite Ableitung gibt somit die Änderungsgeschwindigkeit der erste Ableitung. Wie die erste Ableitung spielt auch die zweite in der Funktionsanalyse eine Rolle, beispielsweise bei der Bestimmung von Extrempunkten einer Funktion und der Bestimmung von Wendepunkte.

Beispiel

Wir bestimmen die zweite Ableitung der Funktion:

${displaystyle f(x)={frac {x^{3}}{2}} e^{x} 4x-6}$

Die erste Ableitung lautet dann:

${displaystyle f'(x)={frac {3}{2}}x^{2} e^{x} 4}$

Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung:

${displaystyle f''(x)=left({frac {3}{2}}x^{2} e^{x} 4ight)'=3x e^{x}}$

Schreibweisen

Die zweite Ableitung einer Funktion ${Anzeigestil y=f(x)}$ kann auf verschiedene Arten geschrieben werden, zum Beispiel als:

${displaystyle f''(x), {frac {mathrm {d} ^{2}f}{mathrm {d} x^{2}}}, f^{(2)}(x)}$

In diesen Notationen ${displaystyle f}$ immer ersetzt werden durch${Anzeigestil y}$.

Anwendungen

Die erste Ableitung wird verwendet, um die Steigung, Steigung, eines Graphen zu finden. Durch Untersuchung der Punkte, an denen die Ableitung 0 ist, können auch Maxima und Minima bestimmt werden. Die zweite Ableitung spielt bei dieser weiteren Untersuchung eine Rolle. Die erste Ableitung zeigt, ob ein Graph fällt oder steigt. Der Graph kann jedoch immer noch ansteigend/abnehmend, abnehmend/abnehmend oder linear sein. Welche der drei es ist, lässt sich mit der zweiten Ableitung ermitteln.

Aber auch die zweite Ableitung spielt bei der Bestimmung von Wendepunkten eine Rolle. Bestimmt, ob der Graph von konvex (konvex) zu konkav (konkav) oder von konkav zu konvex übergeht. Man kann die Wendepunkte finden, indem man die zweiten Ableitungen gleich 0 setzt.

${Anzeigestil f''(x)=0}$.

Im Artikel Wendepunkte wird noch genauer besprochen.

Beispiel

Ursprüngliche Funktion

Wir untersuchen die Funktion

${displaystyle f(x)={frac {x^{3}}{5}}}$

Wie zu sehen ist, steigt der Graph über die gesamte Intervall [-5.5]. Es ist jedoch auch ersichtlich, dass im Ursprung die Steigung gleich 0 ist. Obwohl die Funktion auf [-5.5] ansteigt, variiert der Grad der Zunahme. Wir können sehen, dass die Funktion von der ersten Ableitung an steigt, weil sie niemals negativ ist:

erste Ableitung

${displaystyle f'(x)={frac {3}{5}}x^{2}}$

Das Minimum der Ableitung ist 0 (am Punkt ${Anzeigestil x=0}$). Das bedeutet, dass der Graph im Punkt ${Anzeigestil x=0}$ verläuft horizontal.

Aus der ersten Ableitung lesen wir, dass die Funktion steigend ist, aber der Grad der Zunahme wird durch die zweite Ableitung gezeigt.

Zweite Ableitung

${displaystyle f''(x)={frac {6}{5}}x}$

Es ist negativ für negative Werte von ${Anzeigestil x}$ und positiv für positive Werte. Der Graph steigt somit progressiv von ${Anzeigestil x=0}$ und abnehmend auf ${Anzeigestil x=0}$.

Hinweis: Die zweite Ableitung zeigt nicht an, ob die Kurve steigt oder fällt, sondern nur, ob sie steigt oder fällt.

Siehe auch

• Dritte Ableitung