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In dem Mathematik, vor allem in der Geometrie und Lineare Algebra, ist Vektorprojektion das (aufrecht) Projektion in einem euklidischer Raum von a Vektor übereinander. Der Vektor kann somit in eine Komponente entlang des anderen Vektors und eine Komponente senkrecht dazu aufgelöst werden.

Für Vektoren ${Anzeigestil x}$ und ${displaystyle y}$ in einem euklidischen Raum ist die (senkrechte) Projektion von ${Anzeigestil x}$ auf ${displaystyle y}$ der Vektor:

${displaystyle x_{//}={frac {langle x,yangle }{langle y,yangle}},y=langle x,e_{y}angle e_{y}}$

Darin ist ${displaystyle langle cdot , cdot winkel }$ es Standard-Innenprodukt und ${displaystyle e_{y}=y/|y|}$ der Einheitsvektor in Richtung ${displaystyle y}$.

Der Unterschied von ${Anzeigestil x}$ und seine Projektion auf ${displaystyle y}$,

${displaystyle x_{perp}=x-x_{//}}$

ist ein Vektor senkrecht zu ${displaystyle y}$. Schließlich gilt:

${displaystyle langle x-{frac {langle x,yangle }{langle y,yangle}},y,yangle =langle x,yangle -langle {frac {langle x,yangle }{langle y,yangle}},y,yangle =langle x,yangle -{frac {langle x,yangle }{langle y,yangle}}langle y,yangle =0}$

Der Vektor ${Anzeigestil x}$ wird damit in die beiden zueinander orthogonalen Komponenten aufgelöst ${displaystyle x_{//}}$ in der Richtung von ${displaystyle y}$ und ${displaystyle x_{perp }}$ senkrecht zu ${displaystyle y}$:

${displaystyle x=x_{//} x_{perp}}$

Benutzen

Die Vektorprojektion findet eine wichtige Anwendung in der Gram-Schmidt-Methode (zur Bestimmung eines Orthonormalen Base in einem Vektorraum).

Siehe auch

• Lineare Algebra
• Zeilenvektor
• Spaltenvektor