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In dem Lineare Algebra, eine Unterregion der Mathematik, ist der Standard-Innenprodukt oder kanonisches inneres Produkt es internes Produkt normalerweise in der in . verwendet Euklidischer Vektorraum${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ und die endliche Dimension komplexer Vektorraum${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$. Unter Verwendung des Standard-Innenprodukts werden die üblichen Konzepte von Länge und Ecke definiert sein.

Definition

Echtes Standard-Innenprodukt

Es Standard-Innenprodukt von zwei Vektoren${displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldots,x_{n}),y=(y_{1},y_{2},ldots,y_{n})in mathbb {R} ^{ n}}$ ist definiert als

${displaystyle langle x,yangle =x_{1}y_{1} x_{2}y_{2} ldots x_{n}y_{n}=Summe _{i=1}^{n}x_{i}y_{ ich}}$

Fassmänner ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ auf wenn Spaltenvektoren:

${displaystyle x=[x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}]^{ on},y=[y_{1},y_{2},ldots ,y_{n}]^{ on }}$,

dann kann das innere Standardprodukt geschrieben werden als Matrixprodukt:

${displaystyle langle x,yangle =x^{ auf }y=y^{ auf }x}$

Komplexes Standard-Innenprodukt

Von dem komplexes Standard-Innenprodukt von zwei Vektoren ${displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldots,x_{n}),y=(y_{1},y_{2},ldots,y_{n})in mathbb {C} ^{ n}}$ es gibt zwei versionen.

${displaystyle langle x,yangle ={ ar {x}}_{1}y_{1} { ar {x}}_{2}y_{2} dotsb { ar {x}}_{n}y_{n} =Summe _{i=1}^{n}{ ar {x}}_{i}y_{i}}$

und

${displaystyle langle x,yangle '=x_{1}{ ar {y}}_{1} x_{2}{ ar {y}}_{2} Punkteb x_{n}{ ar {y}}_{n }=Summe _{i=1}^{n}x_{i}{ ar {y}}_{i}}$.

Die beiden Versionen unterscheiden sich nur darin, dass sie komplex konjugiert sein:

${displaystyle langle x,yangle '={overline {langle x,yangle }}}$.

Fassmänner ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ auf wenn Spaltenvektoren:

${displaystyle x=[x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}]^{ on},y=[y_{1},y_{2},ldots ,y_{n}]^{ on }}$,

dann kann das komplexe innere Standardprodukt geschrieben werden als Matrixprodukt:

${displaystyle langle x,yangle =x^{ on }{ ar {y}}={ ar {y}}^{ on }x}$.

Eigenschaften

Das reelle innere Standardprodukt hat die Eigenschaft, dass für jede reelle quadratische Matrix ${Anzeigestil A}$ Ordnung gleich der Dimension des Vektorraums, gilt:

${displaystyle langle Ax,yangle =(Ax)^{ on }y=x^{ on }A^{ on }y=langle x,A^{ on }yangle }$.

Eine ähnliche Eigenschaft gilt für das komplexe innere Standardprodukt, nämlich für jede komplexe quadratische Matrix ${Anzeigestil A}$ Ordnung gleich der Dimension des Vektorraums, gilt:

${displaystyle langle Ax,yangle =(Ax)^{ on }{ ar {y}}=x^{ on }A^{ on }{ ar {y}}=x^{ on }{overline {{ ar {A }}^{ auf }y}}=langle x,{ ar {A}}^{ auf }yangle }$.

Derivative Konzepte

Norm

Das Norm eines reellen oder komplexen Vektors ${displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldots,x_{n})}$ die sich vom inneren Standardprodukt ableitet, heißt euklidische Norm und hat die Form:

${displaystyle |x|={sqrt {langle x,xangle }}={sqrt {|x_{1}|^{2} |x_{2}|^{2} ldots |x_{n}|^{2} }}}$.

Entfernung

Aus der euklidischen Norm ist die Euklidische Entfernung${Anzeigestil |x-y|}$ zwischen zwei reellen oder komplexen Vektoren ${displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldots,x_{n})}$ und ${displaystyle y=(y_{1},y_{2},ldots,y_{n})}$ abgelenkt:

${displaystyle |xy|={sqrt {langle xy,x-yangle }}={sqrt {|x_{1}-y_{1}|^{2} ldots |x_{n}-y_{n}|^{ 2}}}}$.

Winkel

Das Ecke${Anzeigestil heta=Winkel(x,y)}$ zwischen zwei reellen Vektoren ${displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})eq 0}$ und ${displaystyle y=(y_{1},y_{2},ldots ,y_{n})eq 0}$ wird aus dem realen Standard-Innenprodukt abgeleitet, über:

${displaystyle cos(heta)={frac {langle x,yangle }{|x||y|}}}$

Orthogonalität

Zwei reelle oder komplexe Vektoren ${displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})eq 0}$ und ${displaystyle y=(y_{1},y_{2},ldots ,y_{n})eq 0}$ sind orthogonal, wenn ihr inneres Produkt gleich 0 ist, also wenn:

${displaystyle langle x,yangle =0}$.

Bei reellen Vektoren bedeutet Orthogonalität, dass ${Anzeigewinkel (x,y)=90^{circ }}$.

Endlichdimensionale Vektorräume

Für einen zufälligen nein-dimensionaler Vektorraum ${Anzeigestil V}$ über den reellen Zahlen mit einem inneren Produkt ${displaystyle langle cdot , cdot winkel }$ das innere Standardprodukt kann verwendet werden, um das innere Produkt zweier Vektoren zu berechnen ${displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldots,x_{n})}$ und ${displaystyle y=(y_{1},y_{2},ldots,y_{n})}$. wenn lineare Kombination von a Orthonormalbasis${displaystyle {e_{1},ldots ,e_{n}}}$ von ${Anzeigestil V}$ sind diese Vektoren:

${displaystyle x=sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}$ und ${displaystyle y=sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}}$

Das innere Produkt von ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ ist:

${displaystyle langle x,yangle =leftlangle sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i},sum _{j=1}^{n}y_{j}e_{j}ightangle =sum _{i=1}^{n}Summe _{j=1}^{n}x_{i}y_{j}langle e_{i},e_{j}Winkel =Summe _{i=1}^{ n}x_{i}y_{i}}$.

Dies kann also als das normale innere Produkt der Vektoren der Koordinaten von berechnet werden ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ relativ zu besagter Basis.