WikiDer > Verdopplungszeit

An einer exponentiell wachsen Bevölkerung ist die Verdopplungszeit die Zeit, in der sich die Größe von Anfang an verdoppelt hat. Exponentielles Wachstum wird durch die Größenformel beschrieben ${Anzeigestil N(t)}$ der damaligen Bevölkerung ${displaystyle t}$:

${Anzeigestil N(t)=N(0)cdot g^{t}}$

Darin ist ${Anzeigestil N(0)}$ der Anfangswert der Populationsgröße, der Wert der Größe bei ${Anzeigestil t=0}$. Die Wachstumsstärke wird durch den Wachstumsfaktor bestimmt ${displaystyle g}$. Bei exponentiellem Wachstum ist der Wachstumsfaktor größer als 1.

Die Verdopplungszeit ${displaystyle t_{V}}$ ist die Zeit, in der die Größe ${Displaystil N}$ ist doppelt so groß geworden wie der Anfangswert ${Anzeigestil N(0)}$, So:

${Anzeigestil N(t_{V})=2,N(0)}$

Wachstumsrate

Ein Merkmal des exponentiellen Wachstums ist, dass während eines beliebigen Zeitintervalls einer bestimmten Dauer die Variable ${Displaystil N}$ bei gleicher Wachstumsrate ${displaystyle p}$ steigt. Zum Beispiel 3% pro Jahr, 1% pro Stunde, 5% pro Tag. Die Wachstumsrate ergibt sich über die Formel:

${displaystyle g=1 {frac {p}{100}}}$ oder ${displaystyle p=left(g-1ight)cdot 100/$

mit dem Wachstumsfaktor verbunden.

Bankformel

Es gibt eine einfache Formel, die die Verdopplungszeit ziemlich genau abschätzen kann, wenn die Wachstumsrate bekannt ist. Das ist das sogenannte Bankformel, eine Faustregel, die oft verwendet wurde, bevor es elektronische Taschenrechner gab:

${displaystyle g^{t_{V}}=2 o t_{V}={frac {ln 2}{ln g}}={frac {ln 2}{ln left(1 {frac {p}{100}} ight)}}ungefähr {frac {100cdot ln 2}{p}}ungefähr {frac {70}{p}}}$

Sie legen beispielsweise einen Betrag auf ein Sparkonto bei a Zinseszins von 5% pro Jahr. Es dauert dann etwa 70/5 = 14 Jahre, bis sich der ursprüngliche Betrag verdoppelt hat. Eine genauere Berechnung mit Logarithmen oder einem Grafikrechner ergibt eine Verdopplungszeit von 14,21 Jahren. Die Schätzung mit den Bankformeln wird in vielen Fällen akzeptabel sein.

Die Genauigkeit der Schätzung mit der Bankenformel nimmt mit steigender Wachstumsrate ab. Dies wird deutlich, wenn wir die relative Ungenauigkeit berechnen. Bei einer Wachstumsrate von 5 % beträgt die relative Ungenauigkeit der Schätzung etwa 1,5 % = (14,21 - 14)/14,21 x 100 %; bei einer Wachstumsrate von 20 % beträgt sie ungefähr 7,9 % = (3,80 - 3,5)/3,80 x 100 %.

halbes Leben

Man kann auch die Bankenformel verwenden, um die halbes Leben wenn der Zerfallsprozentsatz bekannt ist. Wenn beispielsweise die Aktivität eines radioaktiven Präparats monatlich um 10 % abnimmt, dauert es etwa 70/10 = 7 Monate, bis sich die ursprüngliche Aktivität halbiert. Die Formel für die Halbwertszeit ähnelt der der Verdopplungszeit:

${displaystyle {frac {ln 0{,}5}{ln g}}={frac {ln 0{,}5}{ln 1{,}10}}ungefähr -7{,}2725}$

Der absolute Wert dieser Berechnung ergibt das Ergebnis: 7,2725 Monate.