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Diagramm mit 3 Kurven. Rotes lineares Wachstum, blaues kubisches (dritte Potenz) Wachstum und grünes exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum ist eine Zunahme proportional zu seiner eigenen Größe. Jede Menge, die stetig gleich ist Prozentsatz wächst pro Zeiteinheit, erfährt exponentielles Wachstum. Beispielsweise ist das Wachstum einer Bevölkerung, bei der die Zahl der Geburten pro Individuum oder pro Paar konstant bleibt, proportional zur Zahl der Individuen und damit exponentiell. Bankguthaben mit festem Plus Zinssatz ein exponentielles Wachstum aufweisen, abgesehen natürlich von Belastungen oder Gutschriften. Exponentieller Rückgang ist auch möglich, zum Beispiel beim radioaktiven Zerfall und bei der Temperaturdifferenz zur Umgebung beim Abkühlen eines heißen Objekts.

Exponentielles Wachstum kann schnell oder langsam sein, aber es hält in realen, physischen Dingen nicht immer an. Auf Dauer ist dies physikalisch unmöglich. Denkbar ist beispielsweise noch, dass eine konstante Inflation exponentielle Preissteigerungen bewirkt. Dies kann von Zeit zu Zeit durch größere Banknotenstückelungen und die Einführung größerer Geldeinheiten ausgeglichen werden, so dass dies auf unbestimmte Zeit so weitergehen kann. Die Zahl der Infektionen bei einer Ansteckung durch eine ansteckende Virus kann zunächst exponentiell wachsen, wenn keine Maßnahmen ergriffen werden. Das Wachstum wird sich jedoch zumindest abflachen, wenn sich alle infizieren oder wenn einschränkende Bedingungen vorliegen, wie z Bevölkerungsdichte.

Beispiel

Ein Beispiel für den enormen Anstieg ist die Geschichte des Schöpfers der Schachspiel. Der König wollte ihm danken und sagte ihm, er solle sich etwas wünschen. Geben Sie mir ein Weizenkorn auf dem ersten Feld des Brettes, zwei für das zweite, vier für das dritte und so weiter die doppelte Zahl für jedes weitere Feld. Es schien dem König ein bescheidener Wunsch, aber die gesamte Getreideernte würde nicht ausreichen. Die Anzahl der Körner, ${Displaystil 2^{64}-1}$, ist eine Zahl von 20 Stellen und wiegt etwa 1,2 Billion Tonnen. Eine Schlange von Lastwagen, die jeweils 10 Tonnen tragen können, 8 Meter lang und 1,2 Billionen Tonnen Getreide transportieren, ist etwa eine Milliarde Kilometer lang: 23600 Mal um die Erde, 2450 Mal um die Erde. Mond.

Der Begriff exponentielles Wachstum wird manchmal missbraucht, wenn es nur um schnelles Wachstum geht.

Mathematische Beschreibung

wenn ${Anzeigestil x}$ ist eine Größe, die mit der Zeit exponentiell wächst ${Anzeigestil t,}$ per Definition die Wachstumsrate ${displaystyle mathrm {d} x/mathrm {d} t}$ ist proportional zum Momentanwert, erfüllt also die Differentialgleichung:

${displaystyle {frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}=kx}$

Darin ist ${displaystyle k}$ das relative Wachstumsrate von ${Anzeigestil x}$, auch zu beschreiben als der Frequenz in welchem ${Anzeigestil x}$ um einen Faktor ${displaystyle e}$ wird multipliziert.^[1] wenn ${Anzeigestil k<0}$ ist, wird gesprochen exponentieller Rückgang, wie bei der Dämpfung von Vibrationen und radioaktiv zerfallen; ${displaystyle -k}$ ist dann die Frequenz, bei der ${Anzeigestil x}$ um einen Faktor ${displaystyle e}$ wird geteilt.

Die Lösung der Differentialgleichung ist die Exponentialfunktion

${displaystyle x(t)=x_{0},e^{kt}}$,

wo die Konstante ${displaystyle x_{0}}$ der Wert der Menge ist für ${Anzeigestil t=0}$.

Relatives Wachstum pro Zeiteinheit

Die Gleichung für exponentielles Wachstum kann auch geschrieben werden als:

${displaystyle x(t)=x_{0}cdot e^{kt}=x_{0}cdot g^{t}}$

mit Wachstumsfaktor${displaystyle g=e^{k}}$, dies ist der Faktor, um den ${Anzeigestil x}$ pro Zeiteinheit multipliziert.

Rund um die Maße um es richtig zu machen und deutlich zu machen, dass die dimensionslose Menge${displaystyle g}$ hängt von der Zeiteinheit ab ${displaystyle t_{e}}$ sollte eigentlich geschrieben werden

${displaystyle x(t)=x_{0}cdot g^{t/t_{e}}}$

${displaystyle g=e^{kt_{e}}}$

wenn ${displaystyle g>1}$ (positiv ${displaystyle k}$) es gibt ein exponentielles Wachstum; wenn ${Anzeigestil 0$ (Negativ ${displaystyle k}$) Gibt es exponentieller Rückgang (zerfallen).

Die relative Wachstumsrate beträgt beispielsweise 0,01 pro Monat, was 0,12 pro Jahr entspricht. Dies steht im Gegensatz zum relativen Wachstum in diskreten Schritten von einem Monat oder einem Jahr, in diesem Fall ${Anzeigestil e^{0.01}-1=0.01005}$ pro Monat oder ${Anzeigestil e^{0,12}-1=0,12750}$ pro Jahr. 0,01 pro Monat und 0,12 pro Jahr sind dieselbe Größe, nur in unterschiedlichen Einheiten ausgedrückt, während 0,01005 und 0,12750 zwei verschiedene dimensionslose Größen sind. Im ersten Fall bedeutet "per" eine Division, die durch Multiplikation mit 12 umgerechnet werden kann, im anderen Fall ist "per" eine Mengenangabe.

Das relative Wachstum pro Zeiteinheit kann statt im Faktor ${displaystyle g}$ wodurch ${Anzeigestil x}$ multipliziert pro Zeiteinheit, werden auch im Bruch ausgedrückt ${Anzeigestil g-1}$ die pro Zeiteinheit hinzugefügt wird. Dies wird auch oft in Prozent geschrieben, es Wachstumsrate: ${Anzeigestil x}$ nimmt mit ${Anzeigestil p/$ pro Zeiteinheit, wobei ${displaystyle g=1 {frac {p}{100}}.}$ Bei exponentieller Abnahme ist ${displaystyle p}$ Negativ.

Manchmal ist der Unterschied zwischen der relativen Wachstumsrate ${displaystyle k}$ und der Bruch ${Anzeigestil g-1}$ die pro Zeiteinheit addiert wird, angegeben durch ${displaystyle k}$ als Bruch geschrieben werden und die Mengen ${Anzeigestil g-1}$ basierend auf diskreten Zeitintervallen in Prozent. Verwirrend ist dann, dass der relative Wachstumsfaktor ${displaystyle k}$ wird manchmal auch in Prozent ausgedrückt. Allerdings sind die Prozentsätze nur bei einem geringen relativen Wachstum pro Zeiteinheit (langsames Wachstum oder kleine Zeiteinheit) annähernd gleich. Das ergibt sich aus:

${displaystyle g=e^{k}=1 k {frac {k^{2}}{2!}} ldots = 1 {frac {p}{100}} o kapprox {frac {p}{100}}. }$

Berechnungsbeispiel

Die relativen Wachstumsraten einer fiktiven Bevölkerung werden für fünf aufeinanderfolgende Jahre angegeben. Daraus werden für jedes Jahr der Wachstumsfaktor und der Wachstumsprozentsatz berechnet. Gerade für das Jahr 1969 gibt es einen deutlichen Unterschied zwischen der relativen Wachstumsrate in Prozent und der Wachstumsrate!

Jahr	1965	1966	1967	1968	1969
Relative Wachstumsrate pro Jahr	0,01	0,05	0,10	0,15	0,20
Relative Wachstumsrate pro Jahr in %	1,00%	5,00%	10,00%	15,00%	20,00%
Wachstumsfaktor pro Jahr	1,0101	1,0513	1,1052	1,1618	1,2214
Wachstumsrate pro Jahr	1,01	5,13	10,52	16,18	22,14

Der "durchschnittliche Wachstumsfaktor pro Jahr" im Sinne des gleichen Wachstumsfaktors pro Jahr, der über den gesamten Zeitraum den gleichen Gesamtwachstumsfaktor ergibt, ist der geometrisches Mittel. Ein Vorteil der Arbeit mit relativen Wachstumsraten besteht darin, dass die durchschnittliche relative Wachstumsrate einfach dem gewöhnlichen (arithmetischen) Durchschnitt der relativen Wachstumsraten entspricht. Obwohl es generell nicht ratsam ist, mit Prozentsätzen zu rechnen, ist dies in diesem Beispiel problemlos möglich. Der durchschnittliche Prozentsatz beträgt 10,20 %, was der durchschnittlichen relativen Wachstumsrate in Prozent entspricht. Siehe folgende Tabelle.

Ergebnisse
Produkt der Wachstumsfaktoren über 5 Jahre	1,6653
Wachstumsrate über 5 Jahre	66,53
Durchschnittlicher Wachstumsfaktor pro Jahr	1,1074
Durchschnittliche Wachstumsrate pro Jahr	10,74
-	-
Durchschnittliche relative Wachstumsrate pro Jahr	0,1020
Durchschnittliche relative Wachstumsrate pro Jahr in %	10,20%

Beachten Sie, dass sich die relative Wachstumsrate pro Jahr und die Wachstumsrate deutlich unterscheiden. Hier wird der Unterschied hauptsächlich durch die relativ hohen Prozentsätze in den letzten Jahren 1968 und 1969 verursacht.

Basiswechsel

In vielen Anwendungen ist es vorzuziehen, mit einer anderen Basis als der Basis zu arbeiten ${displaystyle e}$. In einem Kontext, in dem die Verdopplungszeit spielt eine Rolle (${displaystyle k}$ positiv) wird vorzugsweise die Basis 2 verwendet. Zum Beispiel in der Strahlenphysik, wo ein exponentieller Zerfall (${displaystyle k}$ negativ) und wahr halbes Leben spielt eine wichtige Rolle, häufig wird die Basis ½ verwendet. In diesem Bereich ist die Dicke halbieren berechnet aus Materialien zur Abschirmung von Reichweite- und röntgen, wobei die Base 1/2 ebenfalls bevorzugt ist. Bei Tonanwendungen wird die Basis 10 bevorzugt.

Ist ${displaystyle b}$ die gewünschte Basis, dann können wir sagen ${displaystyle e^{kt}=b^{ eta t}}$ für einen bestimmten Wert von ${displaystyle eta }$ was ausgedrückt werden kann in ${Anzeigestil b:}$

${displaystyle eta ={frac {k}{ln b}}}$.

Die Lösung der Differentialgleichung kann nun formuliert werden als:

${displaystyle x(t)=x(0)cdot b^{left({frac {k}{ln b}}ight)t}}$

Wenn Sie lieber 2 als Basis verwenden, wird aus Verdopplungszeit${displaystyle t_{D}}$ berechnet aus ${displaystyle e^{kt_{D}}=2 o t_{D}={frac {ln 2}{k}}}$ und die Lösung der Differentialgleichung kann wie folgt formuliert werden:

${displaystyle x(t)=x(0)cdot 2^{frac {t}{t_{d}}}}$

Exponentieller Zerfall (negativ ${displaystyle k}$) kann in ähnlicher Weise in . ausgedrückt werden halbes Leben${displaystyle t_{H}={frac {ln 2}{-k}}}$, wobei die Lösung lautet:

${displaystyle x(t)=x(0)cdot {left({frac {1}{2}}ight)}^{frac {t}{t_{H}}}}$

Beispiele für exponentielles Wachstum

• Investieren / Sparen / Ausleihen. Eine konstante Rendite und eine konstante Compound-Rate Interesse ohne zusätzliche Einlagen und ohne Aufnahme/Ausleihe/Rückzahlung, wobei auch keine Zinsen vereinnahmt/ausgezahlt werden, bedeutet exponentielles Kapitalwachstum. Das offizielle jährliche Prozentrate (APR) geht auch von einem kontinuierlichen exponentiellen Wachstum der Mengen aus, ausgedrückt im Wachstumsfaktor G in einer Zeiteinheit von einem Jahr: der effektive Jahreszins beträgt G -1, also 100(G - 1)%.
• Biologie
  • Bakterien-"Wachstum" in a Kulturgericht erlischt, durch binäre Division, exponentiell, bis zur Verfügbarkeit Lebensmittel ist erschöpft.
  • Eine neue Virus kann sich in den frühen Stadien des Ausbruchs sicherlich exponentiell bis zu einer bestimmten Menge von Gruppenimmunität wurde erreicht.
  • Die menschliche Bevölkerung unter bestimmten Bedingungen.
• Physik
  • Eine Kernreaktion wie in a Nuklearwaffe. Jedes sich spaltende Uranatom erzeugt Neutronen, von denen jedes von benachbarten Uranatomen absorbiert wird, die sich wiederum spalten. Dies kann in einer Hand gehalten werden Kernreaktor durch Einfangen der meisten Neutronen.
  • Ein ungedämpftes Vibration mit konstanter Antriebskraft, einem exponentiell steigenden Amplitude Show.
  • Laden (und Entladen) eines Kondensators.
  • Aufwärmen (oder abkühlen) ${Anzeigestil T=Ae^{-kt}}$ in welchem ${Anzeigestil T}$ die Temperatur, ${displaystyle t}$ die Zeiten ${Anzeigestil A}$ und ${displaystyle k>0}$ sind Konstanten.
  • Radioaktiver Zerfall. Die Menge der radioaktiven Substanz nimmt mit der Zeit ab, da ${displaystyle A(t)=A_{0}e^{-t/au }}$ mit ${displaystyle au }$ das Ablaufzeit.
• Computer: die Moores Gesetz gibt an, dass die Rechenleistung von Prozessoren exponentiell wächst.

Grafik

Wenn ein exponentielles Wachstum mit a . gezeigt wird Logarithmische Darstellung es erscheint eine Gerade, deren Steigung dem Wert des Exponenten entspricht.

Vergleich mit polynomiellem Wachstum

Auf lange Sicht wird das exponentielle Wachstum jede Art von linearem Wachstum übertreffen. Dies ist auch die Grundlage der Theorie der Überbevölkerung der Malthusianismus. Ein exponentielles Wachstum wird noch schneller sein als jedes Wachstum nach a Polynom. Es gibt auch langfristige Wachstumsmodelle, die langsamer sind als exponentielles Wachstum, aber schneller als lineares Wachstum. Denkbar sind auch Wachstumsszenarien, die schneller sind als die exponentiellen.

Mathematisch ausgedrückt gilt für jeden Wert von ${Anzeigestil Alpha:}$

${displaystyle lim _{x o infty }{x^{alpha } over Ce^{x}}=0}$

Siehe auch

• Exponentieller Rückgang
• Albert Allen Bartlett